Low frequency bandgap characteristics and application of a novel two-dimensional three-component cement-based phononic-like crystal composite material
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摘要: 为了拓宽混凝土超材料的弹性波带隙宽度和数量，本文基于局域共振理论设计了一种新型二维三组元水泥基拟声子晶体。首先，采用有限元方法计算和研究了该新型二维三组元水泥基拟声子晶体的能带结构、振动模态、位移场和衰减特性。其次，分析了带隙形成机制和影响因素，并根据质量-弹簧系统模型推导了带隙范围的理论估计式。最后，将该水泥基拟声子晶体应用到地铁道床上，分析了水泥基拟声子晶体地铁道床的减振性能。结果表明：该新型二维三组元水泥基拟声子晶体在200 Hz频段内打开了5条低频带隙，在带隙频率范围内，衰减值大多都在10 dB以上，衰减效果较好；带隙的打开与各原胞的振动特征呈现出对应关系，因特定原胞的平移振动触发，由特定原胞与基体的耦合作用的强度所控制；散射体材料的密度、包裹层材料的弹性模量及厚度是影响其带隙的主要因素；由新型二维三组元水泥基拟声子晶体组成的水泥基拟声子晶体地铁道床在1~200 Hz频段内的振动加速度均小于普通混凝土地铁道床，最大插入损失为10.22 dB，插入损失平均值为8.76 dB，具有显著的减振性能。Abstract: In order to widen the width and number of elastic bandgap of concrete metamaterials, a novel two-dimensional three-component cement-based phononic-like crystal was designed based on local resonance theory. Firstly, the finite element method was used to calculate and study the energy band structure, vibration mode, displacement field and attenuation characteristics of the novel two-dimensional three-component cement-based phononic-like crystal. Secondly, the formation mechanism and influencing factors of the bandgap were analyzed, and the theoretical estimation of the bandgap range was derived according to the mass-spring system model. Finally, the cement-based phononic-like crystal was applied to the subway track bed, and the vibration reduction performance of the cement-based phononic-like crystal subway track bed was analyzed. The results show that the novel two-dimensional three-component cement-based phononic-like crystal opens 5 low-frequency bandgaps in the 200 Hz frequency range, and the attenuation values are mostly above 10 dB within the bandgap frequency range, and the attenuation effect is good. The opening of the bandgap corresponds to the vibration characteristics of each primitive cell, which is triggered by the translational vibration of a specific primitive cell and controlled by the strength of the coupling between the specific primitive cell and the matrix. The density of scatterer material, elastic modulus and thickness of cladding material are the main factors affecting the bandgap. In the 1-200 Hz frequency band, the vibration acceleration of the cement-based phononic-like crystal subway track bed composed of the novel two-dimensional three-component cement-based phononic-like crystal is lower than that of the ordinary concrete subway track bed, and the maximum insertion loss is 10.22 dB and the average insertion loss is 8.76 dB, which has remarkable vibration reduction performance.
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乙烯-四氟乙烯(ETFE)薄膜凭借其良好的物理特性及力学性能，在新型建筑、能源等领域中已被广泛应用。在实际工程应用中，ETFE膜结构的撕裂破坏可归结为内部因素与外部环境因素的协同作用。膜面处膜材在制造与安装过程中，不可避免地会存在微小孔洞、细微折痕和微裂纹等初始缺陷，以及偶发的外来飞致物刺穿引起的切缝；这使膜材在预应力、极端风荷载及雨雪荷载的复合作用下，极易产生应力集中而诱发缺陷不断扩展，最终膜材撕裂损伤，严重情况下甚至会引发膜结构的整体失效，对结构安全构成重大威胁。并且当膜材在中心区域处受到集中载荷或存在制造缺陷时，极有可能会出现显著的中心撕裂行为[1, 2]。因此，除了需对ETFE薄膜的常规力学性能进行研究，也有必要对其撕裂力学行为开展深入研究。
吴明儿[3-5]、崔家春[6, 7]、胡建辉[8]、Zhang[9]、Surholt[10]和Zhao[11-13]等分别对ETFE薄膜进行了系列试验与分析，揭示了薄膜的单轴和双轴力学行为，研究了弹性模量、屈服强度、断裂强度和徐变等力学参数和规律。整体上，现有研究多集中在ETFE母材的粘-弹塑性行为及本构关系等，在撕裂性能的研究尚十分欠缺。而随着ETFE膜结构的社会需求增长，对其撕裂性能研究的欠缺势必会阻碍ETFE膜结构的进一步应用和发展。另外，国内外学者已对织物类膜材的撕裂强度及破坏规律开展了深入研究[14-20]，可为ETFE薄膜撕裂力学性能的研究提供一定参考。Chen等[14, 15]对层压织物进行了系统的单轴撕裂试验，分析了切缝长度、切缝角度、偏轴角对其撕裂行为和撕裂强度的影响；Sun等[18, 19]深入研究了单轴拉伸下切缝长度和切缝角度对PTFE涂层织物撕裂性能的影响；Zhang等[20]论证了切口样式、切缝尺寸和试样尺寸对PVC涂层织物单轴中心撕裂特性的影响。
鉴于此，本文针对典型ETFE薄膜，进行单轴中心撕裂试验，研究切缝长度、切缝角度和切口样式对ETFE薄膜的破坏形态特征及撕裂力学行为的影响。另外，数字图像相关(DIC)技术具有全场测量、非接触、高分辨率等优势[21-23]，可为撕裂力学行为分析提供准确可靠的数据支撑，将用于薄膜撕裂全过程薄膜位移场和应变场的测量与重构。所得结论可为ETFE薄膜材料的撕裂力学性能研究和ETFE膜结构的安全性评估提供有益参考。
1. 试验概况
1.1 试验材料及试件尺寸
试验采用ETFE #250/NJ/
1600 /NT薄膜，其厚度为250μm，密度为1.75 g·cm−3。材料由乙烯和四氟乙烯聚合生成，无色透明，具有优秀的耐化学腐蚀性能和自洁性能[24]。考虑到当前暂无专门的ETFE膜材撕裂性能检测标准，因此参照GB/T 1040.3-2006[25]，以ETFE薄膜单轴拉伸试验的长条形试件的尺寸，直接作为单轴中心撕裂试验的试样尺寸，以实现测试需求。试件尺寸为150 mm×25 mm，夹持端长为25 mm，有效测试区域为100 mm×25 mm。散斑区域设置为50 mm×25 mm，散斑直径为0.5 mm。其中，切缝长度为5 mm，切缝方向角以膜材机器展开方向(MD)的垂直线为基准线，逆时针旋转θ。试件示意图如图1所示。另外，为保证试件在拉伸过程中的滑移量可控，采用在试件夹持端处使用粘结剂粘附砂纸的方法，通过增大夹具与试件接触面之间的摩擦系数，提升夹持的稳定性与可靠性。![]()
图 1 含中心切缝的乙烯-四氟乙烯(ETFE)薄膜典型试件示意图Figure 1. Schematic diagram of a typical specimen of ethylene tetrafluoroethylene (ETFE) foils with a central slit1.2 试验设备
试验选用深圳三思UTM4000型电子万能试验机和尼康D3200高像素照相机。其中，试验机位移速率范围为0.001~500.000 mm·min−1；变形测量范围为10~800 mm，±1‰变形精度；拉压力传感器量程为200 N、精度为0.2 N；尼康D3200高像素照相机拥有
2400 万像素。含中心切缝的ETFE薄膜加载过程中的夹持示意图如图2所示。试验中先对试件施加5 N的预张力，再匀速(50 mm·min−1)加载至试件破坏，并记录试件在试验过程中的变形、荷载和图像数据。![]()
图 2 含中心切缝的ETFE薄膜加载过程中的夹持示意图Figure 2. Clamping schematic of ETFE foils with a central slit during loading1.3 试验工况及环境
试验工况设置为切缝长度、切缝角度和切口样式。其中，切缝长度以2.5 mm为梯度，选取为2.5、5.0、7.5、10.0、12.5和15.0 mm；切缝角度以MD方向为基准，逆时针每旋转15°为一个梯度，选取0°、15°、30°、45°、60°、75°和90°七个角度；切口样式则将典型试件的“一”形切缝更换为其它切口样式，且切口样式可分为开放性切缝(如“一、V、X和十”形等)和封闭性切口(如圆形、椭圆形和矩形切口等)[26]；不同切缝角度和切口样式的示意图如图3所示。每个工况的有效试件为3个，以保证试验的有效性。
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图 3 切缝角度和切口样式的切缝示意图(单位：mm)Figure 3. Slit diagram of slit angles and notch shapes (Unit: mm)试验温度控制在(20±2.0)℃，相对湿度控制在(65±4.0)%。
2. 试验结果及分析
2.1 撕裂过程及破坏形态
ETFE薄膜在不同工况下典型撕裂过程如图4所示，其膜面含散斑贴膜以便于观察，三种工况下的ETFE薄膜的撕裂过程均呈现出4个特征状态：
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图 4 不同工况下ETFE薄膜典型撕裂过程：(a)切缝长度、(b)切缝角度和(c)切口样式Figure 4. Typical tearing process of ETFE foils under different conditions: (a) Slit length; (b) Slit angle; (c) Notch shape(ⅰ)切缝初始状态：在外加5 N预张力时，因其外加荷载较小，切缝保持未张开状态。
(ⅱ)切缝张开状态：随着外加荷载不断增加，切缝逐渐张开，切缝张开形状近似呈现椭圆形；薄膜在切缝尖端上下邻域展现出显著的面外屈曲现象。
(ⅲ)极限撕裂状态：随着外加荷载进一步增大，切缝开口进一步扩大，面外屈曲现象也变得更加明显，薄膜的塑性变形显著增加；其切缝尖端处由于应力集中效应显著，会形成撕裂三角区，出现明显的颈缩现象，并且切缝开始沿着垂直于加载方向扩展。
(ⅳ)完全破坏状态：在薄膜到达极限撕裂状态以后，随着荷载的增大，切缝扩展速度加剧，薄膜的承载能力不断下降，薄膜最终达到完全破坏状态，丧失所有承载能力，并且不同切口样式导致薄膜呈现的破坏形态各异。
图5为ETFE薄膜在切缝张开状态下的切缝邻域εxy应变云图，该云图可直观的展现出薄膜面外屈曲的位置分布及其方向。据图可知，薄膜的面外屈曲的位置集中分布于切口上下邻域；εxy应变云图集中区呈现“X”型分布，其中，“X”型的中心点与切口的中心点重合。在构成“X”型的同一边上，面外屈曲的方向相同；而在构成“X”型的不同边上，面外屈曲的方向相反。随着切缝长度变化，薄膜面外屈曲的位置几乎保持不变。随着切缝角度变化，面外屈曲的位置仍处于切口上下邻域，随之发生相同角度的倾斜。随着切口样式变化，切口会沿着拉伸方向发生不同的张开变形，从而使薄膜面外屈曲的位置随之变化。
2.2 切缝长度影响
不同切缝长度的ETFE薄膜的撕裂抗力-位移曲线如图6(a)所示，撕裂曲线随切缝长度改变存在规律性衍变，但存在典型共同特征，不妨提取典型撕裂曲线对ETFE薄膜撕裂力学行为进行深入阐释(见图6(b))。
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图 5 不同工况下ETFE薄膜切缝邻域的εxy应变云图Figure 5. εxy strain nephogram of ETFE foils in the neighborhood of the slit under different conditions![]()
图 6 不同切缝长度的ETFE薄膜撕裂抗力-位移曲线及其典型撕裂曲线Figure 6. Tearing strength-displacement curves and typical tearing curve of ETFE foils with different slit lengths如图6(a)所示，随着切缝长度增大，撕裂抗力-位移曲线的撕裂前段的斜率不发生变化。在撕裂抗力上升阶段，曲线斜率增加的部分随切缝长度增大而逐渐消失；当切缝长度为2.5 mm、5.0 mm时，可明显观察到曲线斜率上升的趋势，而当切缝长度增大至7.5 mm后，曲线的斜率随着位移的增大而越来越小，无法观察到曲线斜率上升。在撕裂后段，当薄膜的切缝长度从2.5 mm增大到15.0 mm，薄膜有效承载截面不断减小，其极限撕裂抗力从130.74 N下降至57.94 N，下降55.68%；断裂位移由45.48 mm下降至11.05 mm，下降75.70%。
如图6(b)所示，典型撕裂曲线以4个特征点为界，可分为3个特征阶段。其中，初始点O为曲线与纵轴的交点，类屈服点A为曲线斜率首次发生变化点，峰值点B为曲线撕裂抗力最大点和破坏点C为曲线与横轴的交点；4特征点分别与典型撕裂过程的4个特征状态相对应。
(OA)撕裂前段：曲线从不为零的初始点O开始，对应着试验前施加的预张力状态；在该阶段ETFE薄膜呈现出显著的线弹性行为，薄膜的初始弹性模量较大。
(AB)撕裂抗力上升阶段：曲线到达类屈服点A后，斜率迅速减小，明显小于撕裂前段的斜率，开始出现较大的塑性变形；随着位移增大，薄膜内部结构会充分发生变化，撕裂抗力不断增加，曲线斜率明显上升；随后由于变形继续增大导致刚度下降，撕裂抗力增加的速度变缓，曲线斜率又开始下降至零。
(BC)撕裂后段：曲线到达峰值点B时，薄膜达到极限撕裂抗力，开始发生显著的撕裂扩展；随着位移增加，撕裂抗力不断下降，并且撕裂扩展的速度不断加快，撕裂抗力下降幅度逐渐变大，最终下降到破坏点C，对应着薄膜完全破坏。
2.3 切缝角度影响
不同切缝角度的ETFE薄膜撕裂抗力-位移曲线如图7所示。随着切缝角度增大，撕裂抗力-位移曲线的撕裂前段的斜率不发生变化，并且类屈服点对应的位移由1.52 mm上升至1.57 mm，撕裂前段所历经的位移仅增加1.97%，曲线几乎同时进入下一阶段。在撕裂抗力上升阶段，不同切缝角度的薄膜的曲线均会呈现出斜率增大的趋势，并且撕裂抗力上升阶段随切缝角度增加而显著变长。在撕裂后段，当切缝角度由0°增大至90°时，对应的等效切缝长度[27]由5 mm减少至0 mm，其极限撕裂抗力由107.69 N上升至134.25 N，断裂位移由24.39 mm上升至79.90 mm。
可见，随着切缝角度的增大，对应的等效切缝长度随之减小，薄膜的承载途径逐渐恢复，用来承受拉伸荷载的有效截面增大，薄膜的极限撕裂强度增强，使薄膜不易到达极限撕裂状态，使得其断裂位移也随之增大。并且当切缝长度保持为5 mm时，切缝角度由0°增大到90°，其极限撕裂抗力和断裂位移分别上升了24.66%和227.59%，断裂位移的变化率远大于极限撕裂抗力的变化率。因此，切缝角度的改变对薄膜的极限撕裂抗力影响较小，而会显著影响薄膜完全破坏时对应的断裂位移。
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图 7 不同切缝角度的ETFE薄膜撕裂抗力-位移曲线Figure 7. Tearing strength-displacement curves for ETFE foils with different slit angles图8为不同切缝角度的ETFE薄膜的切缝尖端邻域的竖向应变场云图。据图可知，当预制切缝长度为5 mm的“一”形切缝时，薄膜在切缝邻域出现明显的应变集中区(红色区域)，并且其应变集中区分布于切缝尖端邻域上，随切缝角度的增加而发生相应的偏转。这是由于薄膜在预制初始切缝后，在切缝尖端邻域，随着拉伸应力的增大，切缝张开导致薄膜沿着切缝方向发生横向收缩，并且在切缝上下邻域处发生面外屈曲，薄膜会向面外凸出，导致切缝尖端邻域处承受的应力远高于其它区域，从而使薄膜在该区域处的竖向应变较大而出现应变集中区。因此，随着切缝角度的增大，薄膜切缝张开所致的横向收缩效应及面外屈曲现象发生相应的变化，使薄膜的应变集中区始终分布于切缝尖端邻域，从而使得薄膜的应变集中区发生相应的偏转。
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图 8 不同切缝角度的ETFE薄膜切缝尖端邻域的竖向应变场云图Figure 8. Vertical strain field nephograms in the neighborhood of the slit tip of ETFE foils with different slit angles2.4 切口样式影响
图9为不同切口样式的ETFE薄膜的撕裂抗力-位移曲线。不同切口样式对薄膜撕裂曲线的撕裂后段影响显著，导致含不同切口样式的薄膜在完全破坏时，整体上表现出两种破坏模式：类脆性破坏和类延性破坏。如图9(a)和图9(f)所示，对于无切缝和含圆形切口的ETFE薄膜，撕裂曲线到达峰值点后立即发生破坏，在撕裂后段历经的位移占整个撕裂过程发生的位移比例极小；并且在试验过程中可听到轻脆的崩断声，薄膜突然发生破坏，展现出类脆性破坏特性。而对于图9其它切口样式的ETFE薄膜，则呈现类延性破坏特性。撕裂曲线到达峰值点后，薄膜虽然达到了极限撕裂强度，但并不会立即发生断裂破坏；薄膜的切缝不断扩展，有效承载截面逐渐减小，薄膜在历经较大的位移后才完全破坏，可观察到明显预兆。
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图 9 不同切口样式的ETFE薄膜撕裂抗力-位移曲线Figure 9. Tearing strength-displacement curves of ETFE foils with different notch shapes图10为撕裂试样典型损伤模式示意图。可知，含切口的ETFE薄膜，在拉伸撕裂过程中，切口破坏了薄膜的完整性，使薄膜较易出现面外屈曲和颈缩，从而使薄膜在切口邻域处出现显著的大变形区。这会导致薄膜的应力分布不均匀，在大变形区出现应力集中，从而引发撕裂，使薄膜在切口尖端处出现撕裂三角区，薄膜的承载性能下降。并随着撕裂三角区的逐渐扩展，薄膜的有效承载区域不断减小，薄膜的承载性能逐渐下降为零。并且，不同切口样式会使薄膜的大变形区不同，从而使其应力集中各不相同，导致不同切口样式使薄膜承载性能的衰减程度各异。
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图 10 典型撕裂试样损伤模式示意图：(a)“一”形切缝和(b)圆形切口Figure 10. Schematic representation of typical damage modes of the tearing specimens: (a) “—” shaped slit ,and (b) circle notch图11为不同切口样式的ETFE薄膜对应的极限撕裂抗力。对于含开放性切缝的薄膜，相较于无切缝薄膜，含“V、X和十”形切缝的薄膜的极限撕裂抗力均约为138.13 N，下降40.58%，而含“一”形切缝的薄膜仅为107.25 N，下降53.86%。因此，当切缝的横向尺寸相同时，“一”形切缝贯穿了薄膜的主要受力方向，应力集中显著，对薄膜的极限撕裂强度的不利影响最大。对于含封闭性切口的薄膜，相较于无切缝薄膜，含圆形和椭圆形切口的薄膜的极限撕裂强度约为151.88 N，下降34.66%，含矩形-I切口的薄膜仅为115.19 N，下降50.44%。因此，当切口的横向尺寸相同时，矩形-I切口由于具有直角边缘等特性，使薄膜的应力集中程度远大于含圆形和椭圆形切口的薄膜，使薄膜承载性能的衰减程度更大。另外，含矩形-II切口的薄膜的极限撕裂强度为129.63 N，相较于无切缝薄膜的下降44.23%。可见，当切口几何外形相同时，对于横向尺寸较大的切口，其周围的应力集中区域较大，薄膜较易产生撕裂扩展，故对薄膜极限撕裂强度的不利影响更大。
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图 11 不同切口样式的ETFE薄膜极限撕裂抗力Figure 11. Ultimate tearing strength of ETFE foils with different notch shapes3. 结 论
结合系列试验与数字图像相关(DIC)技术，深入分析了乙烯-四氟乙烯(ETFE)薄膜的单轴中心撕裂行为，主要结论如下：
(1) ETFE薄膜的典型撕裂扩展过程呈现出4个特征状态；不同切缝参数显著影响薄膜面外屈曲的位置和破坏形态，但不影响薄膜切缝扩展的方向始终为垂直于加载方向；
(2) ETFE薄膜的撕裂抗力-位移曲线随不同工况的变化而发生非线性衍变，但存在典型共同特征，可划分为3个特征阶段：撕裂前段、撕裂抗力上升阶段和撕裂后段；
(3)当切缝长度从2.5 mm增大到15.0 mm时，薄膜的有效承载截面变小，其极限撕裂强度和断裂位移分别减小了55.75%和75.70%；当切缝角度从0°增大到90°时，薄膜承载途径逐渐恢复，其极限撕裂强度增大了24.67%，而断裂位移却增大了227.59%；
(4)切口样式使薄膜在完全破坏时呈现出类脆性破坏特征或类延性破坏特征。当横向尺寸相同时，在开放性切缝中，“一”形切缝贯穿薄膜主要受力方向，应力集中显著，对薄膜极限撕裂强度的不利影响最大；在封闭性切口中，与光滑边缘切口相比，直角边缘切口使薄膜的应力集中效应更显著，使薄膜易在切口尖角处发生撕裂，造成薄膜承载性能的显著衰减。所得结论可为相关均质性膜材的撕裂力学性能研究和膜结构的安全性评估提供有益参考。
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图 1 水泥基拟声子晶体原胞结构及第一布里渊区
Figure 1. Cement-based phononic-like crystal primitive cell and first Brillouin region
Rs—Scatterer inner diameter; Rc—Wrapping layerouter diameter; a—Lattice constant; M—Matrix; Γ, M—High symmetry point; kx, ky—Wave vector in the x and y directions
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图 3 传统水泥基声子晶体能带结构
Figure 3. Band structure of traditional cement-based phononic crystal
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图 4 新型二维三组元水泥基拟声子晶体能带结构
Figure 4. Band structure of novel two-dimensional three-component cement-based phononic-like crystal
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图 15 新型二维三组元水泥基拟声子晶体的频率响应函数计算模型
Figure 15. Frequency response function calculation model of novel two-dimensional three-component cement-based phononic-like crystal
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图 16 新型二维三组元水泥基拟声子晶体的频率响应函数
Figure 16. Frequency response function of novel two-dimensional three-component cement-based phononic-like crystal
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图 17 新型二维三组元水泥基拟声子晶体的散射体材料参数对带隙的影响
Figure 17. Effect of scatterer material parameters on bandgap of novel two-dimensional three-component cement-based phononic-like crystal
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图 18 新型二维三组元水泥基拟声子晶体的散射体结构参数对带隙的影响
Figure 18. Effect of scatterer structure parameters on bandgap of novel two-dimensional three-component cement-based phononic-like crystal
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图 19 新型二维三组元水泥基拟声子晶体的包裹层材料参数对带隙的影响
Figure 19. Effect of material parameters of wrapping layer on bandgap of novel two-dimensional three-component cement-based phononic-like crystal
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图 20 新型二维三组元水泥基拟声子晶体的包裹层结构参数对带隙的影响
Figure 20. Effect of structure parameters of wrapping layer on bandgap of novel two-dimensional three-component cement-based phononic-like crystal
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图 21 新型二维三组元水泥基拟声子晶体的水泥砂浆基体材料参数对带隙的影响
Figure 21. Effect of material parameters of cement mortar matrix on bandgap of novel two-dimensional three-component cement-based phononic-like crystal
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图 22 新型二维三组元水泥基拟声子晶体的水泥砂浆基体结构参数对带隙的影响
Figure 22. Effect of structure parameters of cement mortar matrix on bandgap of novel two-dimensional three-component cement-based phononic-like crystal
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图 23 不同散射体形状的新型二维三组元水泥基拟声子晶体的计算模型
Figure 23. Calculation models of novel two-dimensional three-component cement-based phononic-like crystal with different scatterer shapes
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图 24 不同形状散射体的新型二维三组元水泥基拟声子晶体的能带结构
Figure 24. Band structure of novel two-dimensional three-component cement-based phononic-like crystal with different scatterer shapes
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图 25 新型二维三组元水泥基拟声子晶体内部散射体的多形状耦合的计算模型
Figure 25. Calculation models of multi-shape coupling of internal scatterers in novel two-dimensional three-component cement-based phononic-like crystal
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图 26 新型二维三组元水泥基拟声子晶体原胞内部散射体多形状耦合的能带结构
Figure 26. Band structure of multi-shape coupling of internal scatterers in novel two-dimensional three-component cement-based phononic-like crystal
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图 27 单振子和多振子局域共振声子晶体原胞的弹簧-质量系统等效模型
Figure 27. Spring-mass system equivalent models of single-oscillator and multi-oscillator local resonance phononic crystal primitive cell
k0-k5—Equivalent stiffness of oscillators; m0-m5—Equivalent mass of oscillators
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图 28 多振子局域共振声子晶体的无限质量-质量晶格结构
Figure 28. Infinite mass-in-mass lattice structure of local resonance phononic crystal with multiple oscillators
L—Lattice constant
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图 29 等效模型分析法计算结果
Figure 29. Calculation result of equivalent model analysis method
q—Wave vector; a—Lattice constant
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图 30 水泥基拟声子晶体地铁道床和普通混凝土地铁道床计算模型
Figure 30. Calculation models of cement-based phononic-like crystal subway track bed and ordinary concrete subway track bed
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图 31 水泥基拟声子晶体地铁道床和普通混凝土地铁道床时域和频域曲线
Figure 31. Time domain and frequency domain curves of cement-based phononic-like crystal subway track bed and ordinary concrete subway track bed
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图 32 水泥基拟声子晶体地铁道床和普通混凝土地铁道床1/3倍频程及插入损失
Figure 32. One-third octave and insertion loss of cement-based phononic-like crystal subway track bed and ordinary concrete subway track bed
表 1 结构参数
Table 1 Structure parameters
Scatterer i Rs/m Rc/m a/m 1 0.0275 0.033 0.1 2 0.018 0.0216 3 0.013 0.0156 4 0.01 0.012 5 0.007 0.0084 
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表 2 材料参数
Table 2 Material parameters
Component Density
ρ/(kg·m−3)Elastic modulus
E/PaShear modulus
G/PaScatterer 3300 1.2×1011 4.8×1010 Wrapping layer 12 1.34×105 5.93×104 Matrix 2000 3.45×1010 1.44×1010
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表 3 新型二维三组元水泥基拟声子晶体的带隙影响因素及其水平
Table 3 Bandgap influencing factors and their levels of novel two-dimensional three-component cement-based phononic-like crystal
Influence factor Level 1 Level 2 Level 3 Level 4 Level 5 Material parameters Scatterer E/Pa 1.2×109 1.2×1010 1.2×1011 1.2×1012 1.2×1013 ρ/(kg·m−3) 2300 2800 3300 3800 4300 v 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 Wrapping layer E/Pa 1.34×103 1.34×104 1.34×105 1.34×106 1.34×107 ρ/(kg·m−3) 6 9 12 15 18 v 0.09 0.11 0.13 0.15 0.17 Matrix E/Pa 3.45×108 3.45×109 3.45×1010 3.45×1011 3.45×1012 ρ/(kg·m−3) 1000 1500 2000 2500 3000 v 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 Structure parameters Scatterer Rs/m 0.8R1 0.9R1 R1 – – Wrapping layer Rc/m 0.8R2 0.9R2 R2 – – Matrix a/m – – 0.1 0.12 0.14 Notes: R1—Inner diameter of scatterer; R2—Outer diameter of wrapping layer; v—Poisson's ratio.
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1. 杨子悦，刘欢，张红艳. 可控超结构复合带隙特性研究. 复合材料学报. 2025(02): 782-790 . 
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目的
混凝土材料因具有高强耐久、使用方便且性能易调等优势，在建筑、桥梁、铁路轨道和隧道等结构中被广泛应用，但由于其较差的阻尼性能使其在工程结构中发挥的减振隔振效果甚微。水泥基声子晶体带隙的数量和宽度决定了混凝土超材料对弹性波的抑制范围和能力，传统的水泥基声子晶体有且仅有一条带隙，故由其构成的混凝土超材料也就只有一条衰减带，在实际工程应用上具有较大局限性。为了拓宽混凝土超材料对弹性波的衰减范围和数量，本文基于局域共振理论提出了一种新型二维三组元水泥基拟声子晶体，即在传统水泥基声子晶体的基础上，在水泥砂浆基体内部增加多个具有单独包裹层的散射体，形成一种水泥基拟声子晶体结构，使共振单元由单自由度系统变为多自由度系统，从而使混凝土超材料具有多重局域共振的特点。
方法首先，采用有限元方法计算和研究了该新型二维三组元水泥基拟声子晶体的能带结构、振动模态、位移场和衰减特性。其次，分析了带隙形成机制和影响因素，并根据质量-弹簧系统模型推导了带隙范围的理论估计式。最后，将该水泥基拟声子晶体复合材料应用到地铁道床上，分析了水泥基拟声子晶体地铁道床的减振性能，以进一步验证新型二维三组元水泥基拟声子晶体复合材料的低频减振带隙功能。
结果该新型二维三组元水泥基拟声子晶体在0~200 Hz频段内打开了5个低频带隙，较传统的水泥基声子晶体相比打开的带隙范围更广，带隙数量更多。新型二维三组元水泥基拟声子晶体低频带隙的打开，与各原胞的振动特征呈现出对应关系，因特定原胞的平移振动触发，由特定原胞与基体的耦合作用的强度所控制。在带隙频率范围内，新型二维三组元水泥基拟声子晶体的衰减值大多都在10 dB以上，且存在多个共振峰，衰减效果较好。新型二维三组元水泥基拟声子晶体的带隙受到散射体、包裹层和水泥砂浆基体的材料参数和结构参数的影响，其中散射体材料的密度、包裹层材料的弹性模量及厚度是影响其带隙的主要因素。此外，散射体的形状和散射体的多形状耦合对新型二维三组元水泥基拟声子晶体的带隙影响甚微。由新型二维三组元水泥基拟声子晶体组成的水泥基拟声子晶体地铁道床在1-200 Hz频段内的振动加速度均小于普通混凝土地铁道床，最大插入损失为10.22 dB，插入损失平均值为8.76 dB，具有显著的减振性能。
结论基于本文提出的新型二维三组元水泥基拟声子晶体模型所研发的水泥基拟声子晶体复合材料打开了低频宽带隙，具有显著的低频减振带隙功能，其在低频振动控制工程领域具有广阔的应用前景。
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近年来，随着声子晶体复合材料的发展，具有弹性波带隙特性的混凝土超材料吸引了国内外学者们的重视，并开展了广泛的研究。但混凝土超材料具有的带隙范围通常较高，一般在几百到几千赫兹，甚至上万赫兹，且带隙宽度较窄，故在低频振动控制领域(例如：地铁产生的低频振动控制)的工程应用上具有很大局限性。
为了拓宽混凝土超材料对弹性波的衰减范围和数量，即打开低频宽带隙。本文基于局域共振理论提出了一种新型二维三组元水泥基拟声子晶体复合材料，即在传统水泥基声子晶体的基础上，在水泥砂浆基体内部增加多个具有单独包裹层的散射体，形成一种水泥基拟声子晶体结构，使共振单元由单自由度系统变为多自由度系统，从而使混凝土超材料具有多重局域共振的特点。该新型二维三组元水泥基拟声子晶体复合材料在200 Hz频段内打开了5条低频带隙，在带隙频率范围内，衰减值大多都在10 dB以上，衰减效果较好。本文的相关研究成果可为低频振动控制领域的材料研发提供参考。
传统水泥基声子晶体模型与新型水泥基拟声子晶体模型
传统水泥基声子晶体复合材料的能带结构与新型二维三组元水泥基拟声子晶体复合材料的能带结构
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