在纳米技术迅速发展和高效冷却技术迫切需求的宏观条件下，出现纳米流体的概念，即以一定的方式和比例在液体工质中添加1~100 nm级金属或金属氧化物粒子而形成的纳米颗粒稳定悬浮液^[1]。由于纳米颗粒导热系数大于纯工质，因此，纳米流体被广泛应用于换热系统中以提高效率。纳米流体有诸多问题需要解决，不仅要满足强化传热性能以提高系统的能源利用率，还需在有些寒冷地区找到可以耐寒抗冻的工质。水和乙二醇(EG)的溶液可以作为抗冻液，且已经取得广泛应用，但其导热系数偏低。若将纳米颗粒与其混合，可以得到导热系数高且抗冻的混合工质。Sarkar等^[2]将基液中悬浮着两种或两种以上不同种类的纳米粒子称为混合纳米流体。由于同时拥有各种粒子的性能，成为近年来众多学者研究的热点。

混合纳米流体导热系数受纳米粒子体积分数、温度、基液混合比等因素影响。Suresh等^[3]研究了Al₂O₃-Cu/水混合纳米流体的导热系数变化规律，当体积分数从0.1 vol%增加到2 vol%，其导热系数呈线性增加；Baghbanzadeh等^[4]制备了SiO₂-多壁碳纳米管(MWCNTs)/水混合纳米流体，结果表明，其导热系数随着体积分数的增加非线性增大，但在高浓度下，导热系数的增强作用反而减小；Esfe等^[5]研究了温度(30~50℃)和体积分数对CNTs-Al₂O₃/水混合纳米流体导热系数的影响，当体积分数从0.02 vol%增加到1 vol%时，导热系数最大增加了17.5%；Hwang等^[6]测量了MWCNTs/(EG-水)、CuO/(EG-水)及SiO₂/(EG-水)混合纳米流体的导热系数，其导热性系数均随温度的升高呈线性增加；Timofeeva等^[7]对比研究了EG基液与水基液的混合纳米流体导热系数，发现在相同条件下EG基液的混合纳米流体导热系数增加更明显。

由此可见，混合纳米流体导热系数受基液类型、粒子种类、体积分数、温度及混合比等因素影响，且变化规律不统一，导致纳米流体导热系数的精确数学建模十分困难。传统的液体颗粒悬浮液模型无法解释影响纳米流体导热性能的各种参数和机制，麦克斯韦方程^[8]是预测微颗粒悬浮液导热系数的经典模型，但其仅适用于极稀悬浮液中的球形颗粒。近年来，作为一种有效的数据分析和建模方法，以人工神经网络(ANN)为代表的诸多先进智能算法不断被应用于不同的领域。如，ANN技术已被用于对流换热系数的计算^[9]，评价氟氯化碳和创新制冷剂^[10]，分析制冷系统^[11]和内燃机以及生物质材料研究^[12]。随后，国内外学者针对ANN在纳米流体热物理性能参数建模和预测中的应用问题展开研究。Hojjat等^[13]选择纳米颗粒体积分数、温度及纳米颗粒导热系数为输入参数，以纳米流体导热系数与基液导热系数的比值作为目标输出参数，提出并实例验证了ANN在纳米流体热导率预测建模中的有效应用。Esfe等^[14]用瞬态热线法测量了MgO-EG纳米流体的导热系数。并以体积分数、温度及粒径为输入量，导热系数为输出量，建立了3-6-6-1结构的神经网络模型预测导热系数，结果表明，该神经网络模型预测值与实验值吻合度较高。

Esfe等^[15-21]基于实验方法测量得到了其他不同类型纳米流体的导热系数，在此基础上详细验证了多层感知前馈网络模型在纳米流体导热系数预测中的有效性。Esfe等^[22]评估了ANN模型在预测Al₂O₃/(EG-水)导热系数的精确性。以纳米粒子体积为0~1.5 vol%和温度变化范围为20~60℃为输入数据，测量的导热系数为输出数据，对具有不同传递函数的神经元数量进行评估，确定隐含层有6个神经元的最优模型，结果表明，该ANN模型具有很高的仿真精度。

由上述分析可知，混合纳米流体导热系数受诸多因素影响且变化规律不统一，给导热系数数学模型的建立带来困难。Moody等^[23]于20世纪80年代首先将径向基(RBF)应用于神经网络设计，提出了RBF神经网络(RBFNN)。相比反向传播神经网络(BPNN)，RBFNN能够有效提高网络的学习收敛速度并避免局部最小问题。因此，选用基于RBFNN模型来预测CuO-ZnO/(EG-水)混合纳米流体导热系数。研究内容分为三个方面：(1)研究基液混合比、温度及各质量分数对导热系数的影响；(2)采用BPNN、RBFNN模型和多元线性回归(MLR)模型建立导热系数预测模型；(3)将BPNN、RBFNN模型和MLR模型预测的导热系数与实验数据进行对比，并表征不同因素(温度、质量分数、基液混合比)对导热系数的影响。与实验结果对比发现，RBFNN模型比MLR模型的预测准确率更高。

1.   实验材料及方法

1.1   原材料

CuO （纯度≥99.99%，30 nm）、ZnO （纯度≥99.99%，30 nm），北京德科岛金科技有限公司；乙二醇（EG，AR，≥99.5%），国药集团化学试剂有限公司；去离子水（实验室自制）。

ML304T电子天平（量程为0~320 g，精度为0.0001 g），上海达平仪器有限公司；JK-MSH-HS磁力搅拌器，上海精学科学仪器有限公司；CP-3010GTS超声振荡仪，中土和泰（北京科技有限公司）；PURELAB实验室超纯水机，威立雅水处理技术（上海有限公司）；Hot disk TPS 2500S热常数分析仪，瑞典Hot Disk有限公司。

1.2   实验方法

采用两步法制备CuO-ZnO质量分数分别为0、1 wt%、2 wt%、3 wt%的CuO-ZnO/(EG-水)混合纳米流体，CuO和ZnO纳米颗粒的粒径为30 nm，质量比为50∶50，而基液比(EG与去离子水质量比)分别为20∶80、40∶60、50∶50、60∶40、80∶20，温度变化为25~60℃，共160组实验数据。

图1为混合纳米流体的制备流程。首先采用ML304T电子天平按照混合比分别称量一定质量的EG和去离子水，并混合；然后按照所需要制备的质量分数称取适当质量的CuO及ZnO纳米颗粒。其中，纳米颗粒体积分数(φ_p)与质量分数(w_p)之间的关系如下：

式中，ρ_p和ρ_f分别为纳米颗粒和基液的密度。最后，将基液和纳米颗粒置于烧杯内进行混合。由于纳米颗粒的表面能大，范德瓦尔引力容易使纳米颗粒团聚进而产生沉淀，需借助一定机械外力(磁力搅拌器搅拌30 min+超声波振荡45 min)形成分散均匀的纳米流体。

图  1  纳米流体制备过程

Figure  1.  Preparation process of nanofluids

下载: 全尺寸图片 幻灯片

采用基于瞬变平面热源法的Hot disk 2500S热常数分析仪测量导热系数。该方法测量纳米流体导热系数的关键在于能够有效避免或减小温度梯度所引起的对流换热影响。为了测量的准确性，每个样品至少重复4次实验，取4次的平均值为最终测量值。

2.   结果与讨论

2.1   多元线性回归(MLR)预测模型

由于影响纳米流体导热系数的因素至今尚未完全明确，如温度、质量分数及混合比等因素之间并不是简单独立的，而是存在一种复杂的耦合关系。在纳米流体导热系数预测中，往往很难给出确切的回归方程。在不能确切给定回归方程时，通常用多项式方程作为回归方程^[24]。在理论上是可行的，这是由于任何曲线都可以用多项式来逼近^[25]。对于纳米流体导热系数而言，作为一种有效的数据分析方法，多项式回归是一种特殊的多元线性回归方法，能够通过统计发现不同变量之间的相关关系，实现定量表征。

MLR尝试通过已知数据找到一个线性方程来描述两个及两个以上的特征(自变量)与输出(因变量)之间的关系，并用这个线性方程来预测结果。MLR的数学模型如下：

式中，u_t(t=1, 2, ···, n)为随机项误差。

在MLR过程中，均方误差是比较常用的损失函数，回归分析的目的就是要基于均方误差最小化来对模型的参数进行求解，损失函数的形式为

式中：y为样本真实值；f(x)为神经网络期望值；t为样本数目。

假设上述回归模型已通过回归方程显著性检验和回归系数显著性检验，能够应用于实际问题。则对于给定观测点x₀=(x₀₁, x₀₂, ···, x_0p)^T，可以进行如下预测：

式中，误差ε₀是一个随机变量，均值为0，对于所有自变量ε₀的方差相等，所有ε₀值是独立的，ε₀满足正态分布，反映y₀的期望值。

2.2   反向传播神经网络(BPNN)模型

典型的BPNN拓扑结构由输入层、隐含层和输出层组成。BPNN训练的每个样本包括输入向量X和期望输出量T，网络输出值Y与期望输出值t之间的偏差通过调整输入节点与隐含层节点、隐含层节点与输出节点之间的权值和阈值，使误差沿梯度方向下降，经过反复学习训练，确定与最小误差相对应的权值和阈值，对实验数据进行仿真预测。

在确定神经网络拓扑结构过程中，隐含层节点数目对BPNN的影响较大，但目前并没有科学方法来确定节点数，如果数目太少，BPNN训练不出适合的网络，以新的数据测试网络，容易出现过拟合；但隐含层节点数目过大，会使训练时间过长，网络的泛化能力降低，且误差也不一定最小。因此存在一个最佳的隐藏层节点数。BPNN拓扑结构的隐含层节点数m确定公式如下^[26]：

式中：n为输入层节点数；l为输出层节点数；a为1~10之间的常数。

选取隐含层为单层，通过上式确定隐含层节点数范围为3~12。通过均方根误差和多元统计系数R²计算，如下表1所示。最终确定隐含层节点数为8时，BPNN拓扑结构最佳。

表  1  隐含层节点数目选取结果评价指标对比

Table  1.  Comparison of evaluation results of the number of hidden layer nodes

Number of neurons	Transfer function	Mean squared error/10–4	R2
[3]	[logsig]	1.3662	0.99887
[4]	[logsig]	2.1945	0.99863
[5]	[logsig]	3.8805	0.99875
[6]	[logsig]	3.7558	0.99881
[7]	[logsig]	3.9099	0.99820
[8]	[logsig]	0.4723	0.99944
[9]	[logsig]	1.1441	0.99901
[10]	[logsig]	3.6291	0.99926
[11]	[logsig]	12.3670	0.99614
[12]	[logsig]	2.3768	0.99836
Note: R2—Duostatistical coefficient of multiple determination.

下载: 导出CSV 

| 显示表格

对于BPNN预测导热系数，温度T、质量分数w、基液混合比(EG与水的质量比) R作为输入层，输出层为导热系数k_nf。确定最终的BPNN拓扑结构如图2所示。

图  2  反向传播神经网络(BPNN)拓扑结构示意图

Figure  2.  Schematic of back propagation neural network (BPNN) topology

w—Mass fraction; R—Mixing ratio; T—Temperature; k_nf—Thermal conductivity

下载: 全尺寸图片 幻灯片

2.3   径向基神经网络(RBFNN)模型

RBFNN模型选择距离函数作为隐含层节点的基函数，采用径向基函数作为激活函数，同时使用线性优化技术，能够有效提高网络的学习收敛速度并避免局部最小问题，以任意精度可以逼近任何连续函数^[27]，很适合处理机制复杂的纳米流体导热系数预测。

图3为N-P-L结构的RBFNN模型及导热系数RBFNN模型。可知，N-P-L结构的RBFNN模型具有N个输入节点，P个隐节点，L个输出节点。其中N为训练样本集的样本数量，P为隐层节点数，L为目标输出的个数。输入层的任一节点用i表示，隐层的任一节点用j表示，输出层的任一节点用y表示。

图  3  径向基神经网络(RBFNN)模型的基本结构(a)和导热系数 (b)

Figure  3.  Basic structure(a) and thermal conductivity(b) of radial basis function neural network (RBFNN) model

下载: 全尺寸图片 幻灯片

对各层的数学描述为：x=(x₁, x₂, ···, x_n)^T为网络输入向量，输入层的作用是在不对输入信息进行任何变换处理的情况下将其映射到隐含层；Φ_j(x)=(j=1, 2, ···, p)为任一隐节点的激活函数，称为“基函数”，一般选用高斯函数；W为输出权矩阵，其中W_jn=(j=1, 2, ···, p; n=1, 2, ···, L)为隐层第j个节点与输出层第n个节点间的突触权值；Y=(y₁, y₂, ···, y_L)为网络输出；输出层将隐含层各节点的输出进行线性组合，以对输入模式进行响应输出。

对于RBFNN预测纳米流体导热系数模型，如图3(b)所示，将温度T、质量分数w、基液混合比(EG与水的质量比)R作为输入层，输出层为导热系数k_nf。

在确定了神经网络结构之后，基于RBFNN预测纳米流体导热系数的具体实施流程，主要包括如下三大步骤。

(1)数据获取和预处理：针对纳米流体导热系数的不同影响因素及其变化规律，考虑各参数之间量纲差异对RBFNN学习精度和效率的影响，进行数据归一化处理如下：

式中：x为实验数据；x'为归一化之后的数据；x_max和x_min分别为实验数据的最大值和最小值；

(2)样本划分：从160组实验数据中随机选择85%用于训练学习，剩下的15%用于测试；

(3)RBFNN预测和评估：利用测试样本评估RBFNN预测纳米流体导热系数的有效性，具体的性能评价指标为

均方根误差($E_{\rm{RMSE}}$)：

平均相对百分比误差($E_{\rm{MRPE}}$)：

误差平方和($S_{\rm{SE}}$)：

多元统计系数(R²)：

式中：P为期望值；Q为神经网络期望值；t为样本数目。其中，$E_{\rm{RMSE}}$、$E_{\rm{MRPE}}$及$S_{\rm{SE}}$越接近于0，R²越接近于1，说明模型的预测越高。

2.4   温度及基液混合比对CuO-ZnO/(EG-水)纳米流体导热系数的影响

图4为CuO-ZnO质量分数分别为0(纯基液)和3 wt%时，CuO-ZnO/(EG-水)纳米流体导热系数随温度及基液混合比的变化。可以看到，纯基液的导热系数随着温度的升高近似线性缓慢增加。当质量分数为3 wt%时，相同条件下，CuO-ZnO/(EG-水)纳米流体导热系数明显大于纯基液，且随温度的升高呈非线性增加。当基液混合比为20∶80，温度从25℃升高至60℃时，CuO-ZnO/(EG-水)纳米流体导热系数与纯基液相比增大了14.03%~23.47%。这是由于加入纳米粒子后，粒子由于布朗作用随机运动，CuO-ZnO/(EG-水)纳米流体的导热系数受粒子随机运动和温度变化呈非线性变化。

图  4  CuO-ZnO/(乙二醇(EG)-水)纳米流体导热系数随温度及混合比的变化

Figure  4.  Thermal conductivity of CuO-ZnO/(ethylene glycol(EG)-water) nanofluids varied with temperature and mixing ratio

下载: 全尺寸图片 幻灯片

还可以看到，随着基液混合比的增大，导热系数下降。这是由于EG的导热系数小于去离子水，随着EG含量的增大，导热系数下降。综合温度、混合比和质量分数可知，三者相互作用使CuO-ZnO/(EG-水)纳米流体导热系数变化更为复杂，表现为各质量分数与基液混合比下，导热系数随温度的变化率不同。因此，给导热系数预测模型的精确度提出了更高的要求。

图5为CuO-ZnO/(EG-水)纳米流体有效导热系数的实验数据与文献中相近流体及经验公式的数据对比。文献[28]和文献[29]分别是Al₂O₃/(EG-水)(50∶50)和Al₂O₃-Cu/EG (50∶50)纳米流体的有效导热系数。可以看到，当CuO-ZnO质量分数为1 wt%时，CuO-ZnO/(EG-水)纳米流体与基液相比，增大了1.07~1.22倍。而在相同质量分数和混合比下，Al₂O₃/(EG-水)(50∶50)纳米流体的有效导热系数与基液相比增幅为1.08~1.17倍，而Al₂O₃-Cu/EG (50:50)纳米流体的有效导热系数与基液相比增幅为1.13~1.16倍。说明基液混合比对导热系数的影响很明显。

图  5  质量分数为1 wt%的CuO-ZnO/(EG-水)纳米流体有效导热系数与文献相关数据及经验公式对比

Figure  5.  Comparison of effective thermal conductivity of CuO-ZnO/ (EG-water) nanofluids between present data and data in literature and empirical correlations at 1 wt% mass fraction of CuO-ZnO

k_bf—Thermal conductivity of base liquids; k_nf—Thermal conductivity of hybrid nanofluids

下载: 全尺寸图片 幻灯片

2.5   MLR模型预测CuO-ZnO/(EG-水)纳米流体导热系数

由2.4节分析可知，导热系数受粒子和基液种类、温度及混合比等影响很大，且变化规律呈非线性变化。因此，首先采用MLR分析方法对CuO-ZnO/(EG-水)纳米流体导热系数的实验数据进行回归分析，得到回归方程如下：

式(11)适用范围：CuO-ZnO/(EG-水)纳米流体，质量分数w为0~3 wt%，温度T为25~60℃，混合比R为20∶80~80∶20。该回归方程多元统计系数R²为0.9876。R²越接近1，说明预测结果越精确。

2.6   BPNN模型预测CuO-ZnO/(EG-水)纳米流体导热系数

图6为用BPNN模型预测的CuO-ZnO/(EG-水)纳米流体导热系数与实验值对比。可以看出，实验数据与预测数据在直线Y=T附近，多元统计系数R²为0.9994，相关系数接近1，意味着BPNN模型预测数据与实验数据一致。说明BPNN模型能够较高精度地预测CuO-ZnO/(EG-水)纳米流体导热系数。虽然BPNN模型预测精度较高，但BPNN权值的调节采用的是负梯度下降法，这种调节权值的方法具有局限性，存在收敛速度慢和容易陷入局部极小，对于复杂系统，BPNN模型预测结果会存在较大误差。

图  6  CuO-ZnO/(EG-水)纳米流体的BPNN回归实验导热系数

Figure  6.  BPNN regression of CuO-ZnO/(EG-water) nanofluids of experimental thermal conductivity

下载: 全尺寸图片 幻灯片

2.7   RBFNN模型预测CuO-ZnO/(EG-水)纳米流体导热系数

RBFNN是一种性能优良的前馈型神经网络，RBFNN可以任意精度逼近任意的非线性函数，且具有全局逼近能力，从根本上解决了BPNN的局部最优问题。图7为CuO-ZnO/(EG-水)纳米流体导热系数实验值与RBFNN模型预测值的对比。可以看到，对于136组训练样本，所有数据点位于±1%以内。而对于剩下的24组测试数据，所有的数据点位于−3%以内。

图  7  CuO-ZnO/(EG-水)纳米流体导热系数实验值与RBFNN预测值对比

Figure  7.  Comparison of thermal conductivity of CuO-ZnO/(EG-water) nanofluids between experimental values and RBFNN predictive values

下载: 全尺寸图片 幻灯片

表2为MLR预测、BPNN模型和RBFNN模型预测CuO-ZnO/(EG-水)纳米流体导热系数性能评估。可知，对于不同样本数据(训练样本、测试样本及总体样本)，与MLR预测模型和BPNN模型对比，RBFNN预测模型的各性能评估参数均方根误差E_RMSE、平均相对百分比误差E_MRPE及误差平方和S_SE更接近0，R²更接近于1。因此，说明RBFNN模型在预测同时具有线性及非线性变化的样本时更有优势、更精确。为了更直观的表达实验值与预测值之间的差异或垂直距离，可通过真实值与预测值之间的差异来对两个模型进行评估。

表  2  RBFNN、BPNN及多元线性回归(MLR)预测模型CuO-ZnO/(EG-水)纳米流体导热系数性能评估

Table  2.  Performance evaluation for CuO-ZnO/(EG-water) nanofluids by predictionmodel of RBFNN, BPNN and multiple linear regression (MLR)

Prediction model	Root mean squared error $E_{\rm{RMSE}}$	Mean relative percentage error $E_{\rm{MRPE}}$/%	Sum of squared error $S_{\rm{SE}}$	R2
RBFNN	0.0038	0.70	0.0003	0.9999
BPNN	0.0069	1.66	0.0011	0.9994
MLR	0.0109	2.03	0.0199	0.9876

下载: 导出CSV 

| 显示表格

图8为MLR、BPNN、RBFNN预测模型的残差值(实验值–预测值)与样本数据之间的关系。可以看到，MLR、BPNN、RBFNN三个模型的残差值随机分布在0附近，最大误差不超过4%，且RBFNN模型的残差值更逼近0，进一步说明RBFNN模型的精确性。

图  8  MLR、BPNN和RBFNN预测模型残差值对比

Figure  8.  Comparison of residuals between prediction models of MLR, BPNN and RBFNN

下载: 全尺寸图片 幻灯片

由上述分析可知，RBFNN能够以较高精度预测CuO-ZnO/(EG-DW)混合纳米流体的导热系数，但其能否有效的表征诸多因素(如质量分数、温度及基液比)对纳米流体导热系数的影响还需进一步分析。

图9为CuO-ZnO/(EG-水)纳米流体导热系数的MLR、BPNN、RBFNN模型预测值与实验值对比。可以看到，RBFNN模型具有良好的自适应，能更接近于实验数据，精度更高。MLR模型在预测非线性变化数据时精确度远低于线性变化数据，在工程实践中，由于RBFNN模型可以任意精度地逼近任何连续函数，具有强大的泛化能力，非常适合处理纳米流体热物性参数这种复杂不确定性和耦合性问题，同时节约时间及经济成本。

图  9  CuO-ZnO/(EG-水)纳米流体导热系数的MLR、BPNN、RBFNN预测值与实验值对比

Figure  9.  Comparison between MLR、BPNN and RBFNN predictions and experimental data of CuO-ZnO/(EG-water) nanofluids

下载: 全尺寸图片 幻灯片

3.   结 论

采用两步法分别制备CuO-ZnO质量分数为0~3 wt%的CuO-ZnO/(乙二醇(EG)-水)混合纳米流体，基液混合比(EG与去离子水质量比)为20∶80~80∶20，温度为25~60℃，研究温度及基液混合比对导热系数的影响。基于径向基神经网络模型(RBFNN)，以质量分数、温度及基液混合比为输入量，预测导热系数模型，并与多元线性回归模型(MLR)、反向传播神经网络(BPNN)作对比。

（1） CuO-ZnO/(EG-水)纳米流体导热系数随着温度的升高呈非线性增大。其中，当CuO-ZnO质量分数为3 wt%、基液混合比为20∶80、温度从25℃升高至60℃时，其导热系数与纯基液相比增大了14.03~23.47%。

（2）随着基液混合比中EG含量的增大，CuO-ZnO/(EG-水)纳米流体导热系数下降。且不同混合比及质量分数下其变化率不同。这一方面是由于粒子间布朗运动导致不同混合比及质量分数下导热系数增长趋势不一致；另一方面，EG的导热系数小于去离子水的，因此相同质量分数及温度下，随着EG含量的增大，导热系数下降。

（3）建立基于RBFNN的模型预测纳米流体的导热系数。其预测精度与BPNN模型、MLR模型对比，各性能评估参数均方根误差(RMSE)、平均相对百分比误差(MRPE)及误差平方和(SSE)更接近0，多元统计系数R²更接近于1。说明RBFNN模型预测导热系数更精确，且能够较好地表征不同因素对导热系数的影响，为纳米流体的热物性参数预测提供了一种有效的数据驱动建模方法。