反射面天线作为星载天线的重要组成部分，在深空探测、移动通信、国防事业、气象监测等方面均具有广泛应用^[1]，近年来随着空间探测技术的快速发展，对反射面天线的传输精度要求越来越高，其型面精度直接影响星载天线的探测性能^[2]。天线在轨运行时，交替进入光照区和阴影区，会周期性经历高温和低温，导致型面热变形均方根(RMS)发生变化，影响反射面的传输精度。因此，控制反射面的型面热变形成为国内外学者的研究重点。

由于碳纤维增强复合材料(CFRP)具有高强度、低密度和低热膨胀系数的优点^[3-4]，因此作为反射面的理想材料，越来越多的学者研究CFRP反射面。Utsunomiya等^[5]研制了用于空间望远镜的超轻高精度CFRP反射镜，由碳纤维玻璃钢表皮和碳纤维玻璃钢蜂窝芯组成，并论证了其低温应用的可行性。直径为150 mm的反射镜RMS为0.8 μm。Steeves等^[6]提出了一种基于CFRP基片和复制技术的新型有源反射镜技术，可以在相同的条件下生产多个反射镜，从而大大降低了制造成本和复杂性，该反射镜经优化RMS为0.2 μm。Wei等^[7]研制了一种零膨胀CFRP，基于此设计了一种新型抛物反射面，该反射面的热变形满足工作频率为600 GHz的远程卫星的要求。周星驰等^[8]制造了一种全CFRP夹层结构新型天线反射面构型，型面热变形仅为全铝反射面的1/6，证实了全CFRP夹层结构在低变形方面的优势及此优化设计方案的可靠性。张弘弛等^[9]对格栅结构反射器的装配误差、粘接方式、胶层厚度、蒙皮和肋条的铺层角度等影响RMS的因素进行了计算分析。Utsunomiya等^[10]对全CFRP夹芯板的热膨胀系数(CTE)进行了定制，使其小于$1\times {10}^{-7}/$℃。制备的直径为150 mm的反射镜通过复制技术将RMS提高到20 μm。

以上研究表明，采用CFRP可以有效降低反射面的RMS，而且CFRP的CTE、胶层厚度及反射面的制备工艺对反射面的RMS都有影响。目前，针对CFRP反射面的有限元计算采用的是单层板铺层方式，这种方式在赋予材料属性时过于繁琐，且划分的网格数过多，计算效率不高，本文为解决该问题提出了一种新的有限元建模策略—层合板等效，将多层CFRP单层板等效成一层层合板，计算出层合板的等效弹性模量和等效CTE。在此基础之上，研究了反射面芯子的结构形式对RMS的影响，比较了4种结构形式的芯子，并找出了最优的结构形式。研究结果为反射面的设计和优化提供了指导。

1.   反射面结构与材料

本文设计的CFPR正方形格栅反射面为分块拼接结构，由12块瓜瓣单元构成，型面外口径为1200 mm，内口径为100 mm的抛物面，以y轴为旋转轴，上蒙皮的上表面抛物母线方程为 $y=({{x}^{2}+{{\textit{z}}}^{2}})/{8\;000}$ ，焦距为2000 mm^[11]，由上至下依次为上蒙皮、上胶层、格栅芯子、下胶层和下蒙皮，反射面整体结构如图1(a)所示，瓜瓣单元如图1(b)所示。

图  1  反射面结构：(a)整体结构；(b)瓜瓣单元结构

Figure  1.  Reflector structure: (a) Overall structure; (b) Melon petal unit structure

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为满足反射面低热变形的要求，蒙皮和格栅芯子采用M55 J型CFRP(二氨基缩水甘油型二苯基甲烷环氧树脂+二氨基二苯砜)^[12]，材料性能如表1，上、下蒙皮铺层方式为[0, 90, 45, −45]，单层板厚度为0.125 mm^[13]；正方形格栅芯子铺层方式[0, 90, 45, −45, 0, 90, 45, −45, 0, 90]，单层板厚度为0.125 mm，单胞为30 mm$\times$30 mm，肋条宽2 mm。为使各个部件粘接在一起，给胶层赋形，胶的性能参数如表2所示^[14]。

表  1  M55 J型碳纤维增强复合材料(CFRP)单层板性能参数

Table  1.  Performance parameters of M55 J carbon fiber reinforced composite (CFRP) single-layer plate

Elasticity modulus/GPa			Poisson's ratio		Shear elasticity/GPa				CTE/(10−6 ℃−1)
${E}_{1}$	${E}_{2}$		$\nu$		${G}_{12}$	${G}_{13}$	${G}_{23}$		${\alpha }_{1}$	${\alpha }_{2}$	${\alpha }_{3}$
290	10		0.27		4.5	4.5	2.1		−1	35	35
Note: CTE—Coefficient of thermal expansion.

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表  2  胶的性能参数

Table  2.  Performance parameters of adhesive

Elasticity modulus/GPa	Poisson's ratio	CTE/(10−6 ℃−1)
2.5	0.3	50

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2.   预测型面热变形的数值模拟方法

2.1   反射面有限元模型

由于反射面由12块相同的瓜瓣单元拼接而成，为提高计算效率，以反射面的瓜瓣单元为研究对象，基于Abaqus建立有限元模型。由于上、下蒙皮和格栅芯子的厚度相对于面内尺寸很小，故用连续壳单元进行建模，采用单层板铺层方式赋予材料性能，部件相互接触表面采用tie约束。

2.2   边界条件与温度荷载

充分利用对称边界条件并消除刚体位移，设置以下边界条件：(1)限制反射面瓜瓣单元的环向位移为0，即${U}_{\theta }=0$；(2)限制下蒙皮内径处下边线z方向位移为0，即${U}_{{\textit{z}}}=0$；(3)其他表面为自由边界条件，如图2所示。为探究反射面在温度变化时的热变形，现给出3种温度荷载：(1)均匀温升80℃；(2)面内温度梯度0~100℃，温度荷载函数${t}_{2}=\left(\dfrac{109.1}{\text{8.53}\dfrac{\mathrm{{\text{π}} }}{180}}\right)a\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left({\left(\dfrac{R\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta -50}{2\times 2000}\right)}^{2}+{\left(\dfrac{R\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta }{2\times 2000}\right)}^{2}+1\right)$；

(3)面外温度梯度0~2℃，温度荷载函数 t₃=$\left(\dfrac{2}{21.2}\right)\left(\left({\textit{z}}+21.2\right)-\dfrac{{R}^{2}}{8000}\right)$，其中R、θ和z分别为柱坐标系下的径向距离、方位角和高度。

图  2  反射面瓜瓣单元的有限元模型

Figure  2.  Finite element model of reflecting surface melon petal element

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2.3   RMS的计算方法

本文以RMS来衡量反射面的型面热变形^[15-16]，基于Abaqus求解反射面的热变形，提取变形后上蒙皮上表面的节点坐标，将其导入Matlab中得到拟合抛物面，如图3所示。

图  3  反射面热变形型面误差计算示意图

Line L is the normal line of the fitted paraboloid, the point M is the intersection of the line L and the fitted paraboloid, and the node N is known

Figure  3.  Schematic diagram of error calculation of thermal deformation profile of reflector

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设存在直线L(拟合抛物面的法直线)过变形后的节点$N$，点$M$为直线L与拟合抛物面的交点，已知节点$N(a,b,c)$及拟合抛物面方程：

式中：$F$为拟合抛物面的焦距；$d$为抛物面顶点在z轴方向的偏移量。设点$M$坐标为$\left({x}_{0},{y}_{0},{{\textit{z}}}_{0}\right)$，可得直线L的方向向量为

因此，直线L的方程可以写为

由式(1)~(3)可得

方程(4)的解包含一个实数解和两个复数解，取其中的实数解作为${x}_{0}$的值，可得${y}_{0}\mathrm{、}{{\textit{z}}}_{0}$，故M与N之间的距离：

对于有$n$个有限元网格节点的反射面，其均方根为

式中: $d_{\mathrm{RMS}}$为型面热变形RMS；n为反射面的节点数量；${d}_{i}$为变形后的型面节点$i$到最佳拟合曲面的法向距离。

2.4   反射面热变形的计算结果

基于Abaqus求解反射面的热变形，得到3种温度荷载下的z向位移，如图4所示。

图  4  反射面在3种温度荷载下的z向位移：(a)均匀温升80℃；(b)面内温度梯度0~100℃；(c)面外温度梯度0~2℃

U3(CSYS-1)—Displacement in the z direction in the cylindrical coordinate system

Figure  4.  z displacement of the reflector under three temperature loads: (a) Uniform temperature rise of 80℃; (b) In-plane temperature gradient 0-100℃; (c) Out-of-plane temperature gradient 0-2℃

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由图4可以看到，面内温度梯度0~100℃荷载时反射面z向位移最大，面外温度梯度0~2℃荷载时反射面z向位移最小，温差越大热变形越大，3种温度荷载下z向位移分布趋势都是一样的，在z方向上由内径向外径向下翘曲。提取变形后反射面上蒙皮上表面的节点坐标，导入Matlab中计算得到反射面在3种温度荷载下的RMS。

由表3可以看到，反射面在3种温度荷载下，面内0~100℃的RMS最大，面外0~2℃的RMS最小，RMS跟热变形成正相关。

表  3  3种温度荷载下的均方根

Table  3.  RMS under three temperature loads

Temperature load	Uniform temperature rise of 80℃	0-100℃ inside the surface	0-2℃ outside the surface
RMS/μm	90.59	116.3	0.92

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2.5   层合板等效方式

以上有限元计算是用单层板铺层的方式给蒙皮和格栅赋予材料属性，现提出一种新的有限元建模策略，先计算出蒙皮和格栅层合板的等效弹性模量^[17]和等效CTE^[18-19]，再赋予材料属性。

2.5.1   求解等效弹性模量

如图5所示，在层合板的长度、宽度和厚度方向建立整体坐标系x-y-z，在单层板的纤维方向、垂直纤维方向和厚度方向建立局部坐标系1-2-3。此时，局部坐标系与整体坐标系之间存在一个夹角即单层板的纤维铺设角度$\theta$，取逆时针方向为正。

图  5  整体坐标系与局部坐标系的关系

θ—Angle between the local coordinate system and the global coordinate system, that is, the fiber laying angle of the single-layer plate

Figure  5.  Relation between global coordinate system and local coordinate system

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平面应力状态下，对于正交各向异性材料，考虑剪应力时第k层单层板在局部坐标系下的应力-应变关系为

式中：$[\boldsymbol{Q}]^{\left(k\right)}$为刚度矩阵；σ₁和σ₂分别为1方向和2方向上的正应力；τ₁₂、τ₂₃和τ₃₁分别为12平面内、23平面内和31平面内的剪应力；ε₁和ε₂分别为1方向和2方向上的线应变；γ₁₂、γ₂₃和γ₃₁分别为12平面内、23平面内和31平面内的剪应变。

应变坐标转换关系为

由此得出层合板中第k层单层板在整体坐标系下的应力-应变关系：

式中，$\left[{\boldsymbol{T}}\right]$称为坐标转换矩阵，可表示为

用$[\overline{{\boldsymbol{Q}}}{]}^{\left(k\right)}$表示$[\boldsymbol{T}]^{-1}[Q]^{(k)}\left([\boldsymbol{T}]^{-1}\right)^{\mathrm{T}}$，可得第k层单层板在整体坐标系下的应变能：

式中：v_k为第k层单层板的体积；v为体积。

假设所有的单层板都具有相同的应变，则N层单层板的应变能之和为

其中，N表示第N层单层板。

如主要考虑单层板的平面变形，则

式中：${\varepsilon }_{x}^{0}$、${\varepsilon }_{y}^{0}$、${\gamma }_{xy}^{0}$、${\gamma }_{y{\textit{z}}}^{0}$和${\gamma }_{{\textit{z}}x}^{0}$表示平面应变；s为表面积；z_k和z_k−1表示第k层板在z方向的上下坐标。

若将所有单层板等效为一个均匀的正交各向异性层合板，且该板与所有单层板的应变能之和相等。假设各向异性板的等效刚度矩阵为$\left[{\boldsymbol{D}}\right]$，其应变能为

比较式(12)和式(13)，可得

式中，$h$表示层合板总厚度。

将$\left[{\boldsymbol{D}}\right]$求逆可得柔度矩阵，故层合板的等效弹性模量为

式中：E_x和E_y分别为x方向和y方向上的弹性模量；G_xy 、G_yz和G_zx分别为xy平面内、yz平面内和zx平面内的剪切模量；S₁₁和S₁₂表示在x方向上产生的位移；S₂₂表示在y方向上产生的位移；S₄₄、S₅₅和S₆₆分别表示绕x轴、绕y轴和绕z轴产生的转角；ν_xy为泊松比。

2.5.2   求解等效热膨胀系数

CFRP单层板由纤维和基体组合而成，按照变形协调条件，沿纤维方向上，纤维和基体看成并联；垂直纤维方向和厚度方向上，纤维和基体看成串联。根据混合理论，可得到单层板的CTE^[20]：

式中：$\alpha$为热膨胀系数，下标1、2、3分别表示沿纤维方向、垂直纤维方向和厚度方向；ν为泊松比，$E$为弹性模量；$V$为体积分数，下标$\mathrm{f}$和$\mathrm{m}$分别代表纤维和基体；∆T为温度变化量。

根据应变在两个坐标系下的转换关系，可推出铺设角为$\theta$时单层板在整体坐标系下的应变：

式中：${\alpha }_{x}$、${\alpha }_{y}$和${\alpha }_{xy}$分别表示单层板在整体坐标系中沿x方向、y方向和x-y平面的热膨胀系数；Δt为温度变化量；$S$为3阶坐标转换矩阵，温度变化不引起剪应变，因此${\gamma }_{12}^{\mathrm{T}}=0$。

假设层合板中每一层单层板的纤维体积分数相等，对于两层单层板的叠加，将其中一层看作增强体，另一层看作基体，沿着纤维和垂直纤维方向上，增强体和基体看成并联；在高度方向上，增强体和基体看成串联，有

对于N层单层板的叠加，将前N−1层看作增强体，第N层看作基体，有

蒙皮铺层方式为[0, 90, 45, −45]，单层板厚度为0.125 mm；正方形格栅铺层方式为[0, 90, 45, −45, 0, 90, 45, −45, 0, 90]，单层板厚度为0.2 mm，按照等效理论，分别计算出蒙皮和格栅的等效弹性模量和等效CTE，如表4。用等效方式计算得到3种温度荷载下的RMS，并与单层板铺层方式作对比，如表5所示。

表  4  蒙皮和格栅的等效材料参数

Table  4.  Equivalent material parameters of skin and grille

Structure	Elasticity modulus/GPa			Poisson's ratio		Shear elasticity/GPa				CTE/(10−6 ℃−1)
	${E}_{x}$	${E}_{y}$		${\nu }_{xy}$		${G}_{xy}$	${G}_{x{\textit{z}}}$	${G}_{y{\textit{z}}}$		${\alpha }_{x}$	${\alpha }_{y}$	${\alpha }_{{\textit{z}}}$
Stressed skin [0,90,45,−45]	48.77	48.77		0.762		13.8	3.3	3.3		−2.9	−2.9	222.6
Grid [0,90,45,−45,0,90,45,−45,0,90]	59.81	59.81		0.708		10.17	3.3	3.3		5.56	38.98	2400

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表  5  单层板铺层方式和层合板等效方式下的RMS

Table  5.  RMS of single layer and laminated board equivalent mode

Structure	Uniform temperature rise of 80℃ RMS/μm	0-100℃ inside the surface RMS/μm	0-2℃ outside the surface RMS/μm
Single ply	90.59	116.3	0.92
Laminate equivalent	82.34	125.81	0.73

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由表5可以看到，用层合板等效方式计算得到的RMS与用单层板铺层方式计算得到的RMS近似相等，其中最大误差是在面外0~2℃温度工况时，为20.7%；最小误差是在面内0~100℃温度工况时，为8.2%。由此可见，用等效方式计算得到的RMS具有很高的可信度，等效方式也可以作为一种有效的有限元建模策略。与单层板铺层方式相比，用等效方式在赋予材料参数时更方便，而且可以减少网格数目，减少工作量。

3.   拓扑优化

为探究不同几何形状的芯子对RMS的影响，考虑4种拓扑形式，即正方形格栅、三角形格栅^[21]、蜂窝^[22-23]和圆管^[24]，为保证4种芯子在总体质量上相等。在一个单胞内，设空隙面积为${A}_{1}$、实体面积为${A}_{2}$，则单胞面积$\mathit{\mathit{{A}}}=A_1+A_2$，孔隙度${\varnothing }=\dfrac{{A}_{1}}{A}$。只要保证这4种结构形式单胞的孔隙度相同，就可以保证反射面的质量相同。

3.1   拓扑结构

正方形格栅单胞的外边长为${a}_{1}$，壁厚为${L}_{1}$，则正方形格栅单胞的孔隙度${\varnothing }_{1}=\dfrac{{\left({a}_{1}-2{L}_{1}\right)}^{2}}{{a}_{1}^{2}}$。同理，分别设蜂窝单胞、三角形格栅单胞和圆管单胞的外边长为a₂、a₃和R，壁厚为L₂、L₃和L₄，则蜂窝单胞的孔隙度${\mathrm{\varnothing }}_{2}=\dfrac{{\dfrac{1}{2}\left({a}_{2}-\dfrac{2}{\sqrt{3}}{L}_{2}\right)}^{2}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}60{\rm{^\circ }}}{\dfrac{1}{2}{a}_{2}^{2}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}60{\rm{^\circ }}}= \dfrac{{\left({a}_{2}-\dfrac{2}{\sqrt{3}}{L}_{2}\right)}^{2}}{{a}_{2}^{2}}$，三角形格栅单胞的孔隙度${\varnothing }_{3}= \dfrac{{\dfrac{1}{2}\left({a}_{3} - 2\sqrt{3}{L}_{3}\right)}^{2}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}60{\rm{^\circ }}}{\dfrac{1}{2}{a}_{3}^{2}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}60{\rm{^\circ }}} = \dfrac{{\left({a}_{3} - 2\sqrt{3}{L}_{3}\right)}^{2}}{{a}_{3}^{2}}$和圆管单胞的孔隙度${\mathrm{\varnothing }}_{4} = \dfrac{{4 R}^{2} - \left[\mathrm{{\text{π}} }{R}^{2} - {\text{π}} {\left(R - {L}_{4}\right)}^{2}\right]}{4{R}^{2}} = \dfrac{{4 R}^{2}-{\text{π}} \left(2 R{L}_{4} - {L}_{4}^{2}\right)}{4{R}^{2}}$。其中，${a}_{1}=30\;\mathrm{m}\mathrm{m},{L}_{1}=1 \;{\mathrm{mm}}$，取${L}_{4}={L}_{3}={L}_{2}= {L}_{1}= 1 \;{\mathrm{mm}}$，经计算${a}_{2}=17.32\;\mathrm{m}\mathrm{m}$，${a}_{3}=51.96\;\mathrm{m}\mathrm{m}$，$R= 11.66\;\mathrm{m}\mathrm{m}$，拓扑结构单胞如图6。

图  6  4种拓扑结构：(a)正方形格栅单胞；(b)蜂窝单胞；(c)三角形格栅单胞；(d)圆管单胞

a₁, a₂, a₃ and R are the outer lengths of square grid cells, honeycomb cells, triangular grid cells and circular tubular cells, respectively; L₁, L₂, L₃, L₄ are the wall thickness of square grid cells, honeycomb cells, triangular grid cells and circular tubular cells, respectively

Figure  6.  Four topological structures: (a) Square grid cell; (b) Honeycomb monocytes; (c) Triangular grid cell; (d) Cylindrids

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3.2   4种拓扑结构下的RMS

在4种结构反射面总质量相同的前提下，计算得到各自的RMS，如表6所示。

表  6  4种拓扑结构下的RMS

Table  6.  RMS in four topologies

Load structural style	Temperature rise 80℃ RMS/μm	0-100℃ inside the surface RMS/μm	0-2℃ outside the surface RMS/μm
Square grating	90.59	116.3	0.92
Honeycomb	108	148.5	1.18
Triangular grating	103.5	128.3	1.04
Circular tube	116.8	176.7	1.32

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由表6可以看到：(1)同种结构不同温度荷载时，面内0~100℃时RMS最大，面外0~2℃时RMS最小；(2)不同结构同种温度荷载时，正方形格栅结构的RMS最小，圆管结构的RMS最大。故在总质量相等的前提下，正方形格栅为最优的结构形式。

4.   几何参数优化

4.1   几何优化

改变正方形格栅单胞外边长${a}_{1}$观察反射面RMS的变化情况，显然，RMS随着${a}_{1}$的增大而增大，但${a}_{1}$不能无限大，故引入等效密度(材料密度$\times \left(1-\mathrm{孔}\mathrm{隙}\mathrm{度}\right)$)，计算得到RMS和等效密度随${a}_{1}$的关系，如表7所示。

表  7  ${a}_{1}$与RMS和等效密度的关系

Table  7.  Relation of ${a}_{1}$ to RMS and equivalent density

${a}_{1}/\mathrm{m}\mathrm{m}$	Temperature rise 80℃ RMS/μm	0-100℃ inside the surface RMS/μm	0-2℃ outside the surface RMS/μm	Equivalent density/$\left(\mathrm{k}\mathrm{g}\cdot\mathrm{m}^{-3}\right)$
20	66.7	92.2	0.4	1700$\times$0.19=323
25	74.6	100.4	0.63	1700$\times$0.15=255
30	90.59	116.3	0.92	1700$\times$0.13=221
40	103.1	125.9	1.13	1700$\times$0.10=170
Note: ${a}_{1}$—Square grille cell outer length.

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由表7可以看到，随着${a}_{1}$的增大，3种温度荷载下RMS均增大，等效密度均减小，以${a}_{1}$为横坐标，温升80℃的RMS和等效密度为纵坐标，如图7所示。RMS与等效密度的交点横坐标认为是最优的${a}_{1}$，${a}_{1}$最优取28 mm。

图  7  ${a}_{1}$与RMS和等效密度

Figure  7.  ${a}_{1}$ to RMS and equivalent density

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4.2   参数优化

考虑反射面的质量限制，蒙皮厚度增大至2 mm，正方形格栅芯子高度增大至65 mm。探究蒙皮和格栅铺层方式、胶层厚度对RMS的影响，蒙皮、格栅单层板厚度均为0.2 mm，铺10层，做出以下两因素五水平的正交实验^[25]，如表8所示。

表  8  正交实验因素水平

Table  8.  Orthogonal experimental factor levels

Factor	Skin laying method	Grid laying method
Level 1	$\left[\left(0,\ 90\right)_5\right]$	$\left[\left(0,\ 90\right)_5\right]$
Level 2	$\left(0,\ 90,\ 0,\ 90,\ 0\right)\mathrm{_s}$	$\left(0,\ 90,\ 0,\ 90,\ 0\right)\mathrm{_s}$
Level 3	$\left[{\left(\pm 45\right)}_{5}\right]$	$\left[{\left(\pm 45\right)}_{5}\right]$
Level 4	$\left[\left(45,\ -\mathrm{45,\ 45},\ -\mathrm{45,\ 45}\right)\mathrm{_s}\right]$	$\left[\left(45,-\mathrm{45,45},-\mathrm{45,45}\right)\mathrm{_s}\right]$
Level 5	$\left[\left(\begin{array}{c}\mathrm{0,45,90},-\mathrm{45,0},\\ \mathrm{45,90},-\mathrm{45,0},45\end{array}\right)\right]$	$\left[\left(\begin{array}{c}\mathrm{0,45,90},-\mathrm{45,0},\\ \mathrm{45,90},-\mathrm{45,0},45\end{array}\right)\right]$

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正交实验结果如表9所示，其中${K}_{1}\mathrm{、}{K}_{2}\mathrm{、}{K}_{3}\mathrm{、} {K}_{4}\mathrm{和}{K}_{5}$分别代表各因素处于各水平时RMS的均值，R表示各因素的极差。

由表9可知，蒙皮铺层方式为[(0, 90)₅]，格栅铺层方式为[0, 45, 90, −45, 0, 45, 90, −45, 0, 45]时，反射面的RMS最小，为最优的铺层方式。根据极差结果，各因素对RMS的影响程度排序为格栅铺层方式>蒙皮铺层方式。

表  9  正交实验结果

Table  9.  Orthogonal experiment results

Serial number	Skin laying method	Grid laying method	RMS/μm
1	$\left[\left(0,90\right)_5\right]$	$\left[{\left(0, 90\right)}_{5}\right]$	36.4
2	$\left[\left(0,90\right)_5\right]$	${\left(0, 90, 0, 90, 0\right)}\mathrm{_s}$	30.8
3	$\left[\left(0,90\right)_5\right]$	$\left[{\left(\pm 45\right)}_{5}\right]$	68.6
4	$\left[{\left(0, 90\right)}_{5}\right]$	$\left[{\left(45, -\mathrm{45, 45}, -\mathrm{45, 45}\right)}\mathrm{_s}\right]$	68.8
5	$\left[{\left(0, 90\right)}_{5}\right]$	$\left[\left(\begin{array}{c}\mathrm{0, 45, 90}, -\mathrm{45, 0},\\ \mathrm{45, 90}, -\mathrm{45, 0}, 45\end{array}\right)\right]$	27.4
6	$\left(0,90,0,90,0\right)\mathrm{_s}$	$\left[{\left(0, 90\right)}_{5}\right]$	40
7	$\left(0,90,0,90,0\right)\mathrm{_s}$	${\left(0, 90, 0, 90, 0\right)}\mathrm{_s}$	34.1
8	$\left(0,90,0,90,0\right)\mathrm{_s}$	$\left[{\left(\pm 45\right)}_{5}\right]$	71.5
9	${\left(0, 90, 0, 90, 0\right)}\mathrm{_s}$	$\left[{\left(45, -\mathrm{45, 45}, -\mathrm{45, 45}\right)}\mathrm{_s}\right]$	71.6
10	${\left(0, 90, 0, 90, 0\right)}\mathrm{_s}$	$\left[\left(\begin{array}{c}\mathrm{0, 45, 90}, -\mathrm{45, 0},\\ \mathrm{45, 90},-\mathrm{45, 0}, 45\end{array}\right)\right]$	29.9
11	$\left[{\left(\pm 45\right)}_{5}\right]$	$\left[{\left(0, 90\right)}_{5}\right]$	40.4
12	$\left[{\left(\pm 45\right)}_{5}\right]$	${\left(0, 90, 0, 90, 0\right)}\mathrm{_s}$	36.8
13	$\left[{\left(\pm 45\right)}_{5}\right]$	$\left[{\left(\pm 45\right)}_{5}\right]$	74.4
14	$\left[{\left(\pm 45\right)}_{5}\right]$	$\left[{\left(45,-\mathrm{45, 45},-\mathrm{45, 45}\right)}\mathrm{_s}\right]$	93.9
15	$\left[{\left(\pm 45\right)}_{5}\right]$	$\left[\left(\begin{array}{c}\mathrm{0, 45, 90},-\mathrm{45, 0},\\ \mathrm{45, 90},-\mathrm{45, 0},45\end{array}\right)\right]$	36.9
16	$\left[{\left(45,-\mathrm{45, 45},-\mathrm{45, 45}\right)}\mathrm{_s}\right]$	$\left[{\left(0, 90\right)}_{5}\right]$	39.6
17	$\left[{\left(45,-\mathrm{45,45},-\mathrm{45,45}\right)}\mathrm{_s}\right]$	$\left(0,90,0,90,0\right)\mathrm{_s}$	36.1
18	$\left[{\left(45,-\mathrm{45,45},-\mathrm{45,45}\right)}\mathrm{_s}\right]$	$\left[{\left(\pm 45\right)}_{5}\right]$	73.6
19	$\left[{\left(45,-\mathrm{45,45},-\mathrm{45,45}\right)}\mathrm{_s}\right]$	$\left[{\left(45,-\mathrm{45,45},-\mathrm{45,45}\right)}\mathrm{_s}\right]$	73.1
20	$\left[{\left(45,-\mathrm{45,45},-\mathrm{45,45}\right)}\mathrm{_s}\right]$	$\left[\left(\begin{array}{c}\mathrm{0,45,90},-\mathrm{45,0},\\ \mathrm{45,90},-\mathrm{45,0},45\end{array}\right)\right]$	36.2
21	$\left[\left(\begin{array}{c}\mathrm{0,45,90},-\mathrm{45,0},\\ \mathrm{45,90},-\mathrm{45,0},45\end{array}\right)\right]$	$\left[\left(0,90\right)_5\right]$	38.9
22	$\left[\left(\begin{array}{c}\mathrm{0,45,90},-\mathrm{45,0},\\ \mathrm{45,90},-\mathrm{45,0},45\end{array}\right)\right]$	$\left(0,90,0,90,0\right)\mathrm{_s}$	33.4
23	$\left[\left(\begin{array}{c}\mathrm{0,45,90},-\mathrm{45,0},\\ \mathrm{45,90},-\mathrm{45,0},45\end{array}\right)\right]$	$\left[{\left(\pm 45\right)}_{5}\right]$	69.7
24	$\left[\left(\begin{array}{c}\mathrm{0,45,90},-\mathrm{45,0},\\ \mathrm{45,90},-\mathrm{45,0},45\end{array}\right)\right]$	$\left[{\left(45,-\mathrm{45,45},-\mathrm{45,45}\right)}\mathrm{_s}\right]$	69.8
25	$\left[\left(\begin{array}{c}\mathrm{0,45,90},-\mathrm{45,0},\\ \mathrm{45,90},-\mathrm{45,0},45\end{array}\right)\right]$	$\left[\left(\begin{array}{c}\mathrm{0,45,90},-\mathrm{45,0},\\ \mathrm{45,90},-\mathrm{45,0},45\end{array}\right)\right]$	29.3
${K}_{1}$	46.4	39.06	–
${K}_{2}$	49.42	34.24	–
${K}_{3}$	56.48	71.56	–
${K}_{4}$	51.72	75.44	–
${K}_{5}$	48.22	31.88	–
R	10.08	43.56	–
Notes: ${K}_{i}(i=\mathrm{1,2},\mathrm{3,4},5)$ represents the mean of the RMS when the factors are at each level; R represents the range of the factors.

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为研究胶层厚度对反射面RMS的影响，改变胶层厚度，得到实验结果，如表10。

表  10  胶层厚度与RMS的关系

Table  10.  Relation between adhesive layer thickness and RMS

Bondline thickness/mm	Temperature rise 80℃ RMS/μm
0.1	27.4
0.2	28.2
0.3	29.4
0.4	30.4
0.5	31.4

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由表10可以看到，随着胶层厚度的增大，RMS也增大，这是由于胶层的弹性模量较小、CTE较大导致反射面的热变形较大。为保证正方形格栅和蒙皮之间有良好的粘接性能，胶层不能太薄，结合胶的胶接性能、实际荷载和使用情况，选用0.1~0.3 mm较合理，这里胶层厚度取0.1 mm。

为探究不同复合材料对RMS的影响，现选取M55 J平纹布/氰酸酯复合材料和T300碳纤维/氰酸酯复合材料作为M55 J型碳纤维的对照，两种复合材料性能参数如表11^[26]。在温升80℃荷载下，计算得到反射面的RMS，如表12。

表  11  M55 J平纹布/氰酸酯和T300碳纤维/氰酸酯复合材料单层板性能参数

Table  11.  Performance parameters of M55 J plain cloth/cyanate and T300 carbon fiber/cyanate composite monolayers

Material	Elasticity modulus/GPa			Poisson's ratio		Shear elasticity/GPa				CTE/(10−6 ℃−1)
	${E}_{1}$	${E}_{2}$		$\upsilon$		${G}_{12}$	${G}_{13}$	${G}_{23}$		${\alpha }_{1}$	${\alpha }_{2}$	${\alpha }_{3}$
M55 J	113.6	113.6		0.11		8	4	4		0.14	0.14	30
T300	60	60		0.13		8.41	4	4		0.14	0.14	30

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表  12  不同复合材料下的RMS

Table  12.  RMS under different composite materials

	M55 J type carbon fiber	M55 J plain cloth/Cyanate ester	T300 carbon fiber/Cyanate
RMS/μm	27.4	0.2	0.8

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由表12可以看到采用M55 J型碳纤维反射面的RMS最大，采用M55 J平纹布/氰酸酯复合材料反射面的RMS最小。故CTE和弹性模量对RMS都有影响，但CTE的影响更大。

5.   置信度分析

针对正方形栅格反射面在3种温度荷载下获得的最小热变形参数分析结果，用Isight做蒙特卡洛模拟^[27]，采用描述抽样，样本数取100。将设计参数赋值为符合正态分布的概率函数，设计参数为胶的弹性模量、胶的CTE、CFRP单层板的弹性模量和CTE、胶层厚度，各个设计变量的均值和标准差采用默认值。计算完成后，得到RMS的概率密度函数分布图，如图8(a)所示，各个设计参数的贡献率Pareto图，如图8(b)所示。

图  8  蒙特卡洛模拟：(a) RMS的概率密度函数分布图；(b)各个设计参数的贡献率Pareto图

Figure  8.  Monte Carlo simulation: (a) RMS probability density function distribution; (b) Pareto diagram of contribution rate of each design parameter

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由图8可得RMS的均值为0.2 μm，RMS在0.15~0.25 μm的范围内近似服从正态分布。单层板和胶层的CTE对RMS的百分比贡献率较大且为正效应，故在设计反射面时使用低CTE材料可以有效降低RMS。

6.   结 论

设计了一种大口径碳纤维复合材料正方形格栅反射面，确定了预测反射面热变形的数值模拟方法，比较了3种温度荷载下反射面的型面热变形均方根(RMS)，主要结论如下：

(1)蒙皮和格栅除了可以采用单层板铺层的有限元建模方式外，还提出了一种新的有限元建模方式—层合板等效，可以大大降低有限元网格和节点数目。在3种温度荷载下，对两种有限元建模方式的数值结果进行比较，发现误差在8.2%~20.7%之间；表明层合板等效有限元建模方式的可行性；

(2)对正方形格栅反射面芯子做拓扑优化，以RMS为指标，与蜂窝芯子、三角形格栅芯子和圆管芯子反射面进行比较，确定了正方形格栅反射面芯子为最优的结构形式；

(3)研究了格栅单胞外边长、蒙皮的铺层方式、格栅的铺层方式和胶层厚度对RMS的影响程度，发现格栅铺层方式对RMS的影响要大于蒙皮铺层方式，并选出最优的结构形式，反射面在最优的结构形式下温升80℃时RMS仅为0.2 μm；

(4)将设计参数赋值符合为正态分布的概率函数，最后得到RMS的概率密度分布近似为正态分布，找到了影响RMS的关键指标参数，碳纤维复合材料和胶层的热膨胀系数对RMS的影响较大。因此在设计和制造反射面时优选热膨胀系数较低的材料。

影响反射面热变形的因素有很多，本文对反射面只进行了稳态分析，并未进行瞬态分析，这是现在工作存在的不足，未来需要进一步研究瞬态热变形规律。