钢纤维-橡胶/混凝土单轴受压全曲线试验及本构模型

赵秋红; 董硕; 朱涵

doi:10.13801/j.cnki.fhclxb.20200916.001

钢纤维-橡胶/混凝土单轴受压全曲线试验及本构模型

赵秋红^{1, 2, ,},
董硕¹,
朱涵^{1, 2}

1.
天津大学　建筑工程学院，天津 300072
2.
天津大学　滨海土木工程结构与安全教育部重点实验室，天津 300350

基金项目: 国家自然科学基金(51678406；51878447；51378340)；天津市研究生科研创新项目(2019YJSB162)

详细信息

通讯作者:
赵秋红，博士，教授，博士生导师，研究方向为高层抗震、桥梁抗震、高性能结构及材料　E-mail：qzhao@tju.edu.cn

中图分类号: TB332
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出版历程
- 收稿日期: 2020-08-02
- 录用日期: 2020-08-31
- 网络出版日期: 2020-09-15
- 刊出日期: 2021-07-14

Experiment on stress-strain behavior and constitutive model of steel fiber-rubber/ concrete subjected to uniaxial compression

ZHAO Qiuhong^{1, 2, ,},
DONG Shuo¹,
ZHU Han^{1, 2}

1.
School of Civil Engineering, Tianjin University, Tianjin 300072, China
2.
Key Laboratory of Coastal Civil Structure and Safety of China Ministry of Education, Tianjin University, Tianjin 300350, China

摘要

摘要: 将钢纤维(SF)掺入橡胶混凝土中，能够改善由于橡胶颗粒掺入导致的强度降低，并进一步增加延性。为研究SF-橡胶/混凝土的抗压性能，配制得到SF体积分数分别为0vol%、0.5vol%、1.0vol%和1.5vol%及橡胶颗粒等体积替换砂率为0%、10%和20%的10组SF-橡胶/混凝土试件，并进行单轴受压全曲线试验。结果表明：SF的桥联作用及其与橡胶颗粒的协同作用可改善混凝土的抗压性能，试件破坏呈明显延性特征。随SF掺量的增加，SF-橡胶/混凝土试件的抗压强度及弹性模量均明显增大，其相应峰值应力的应变及全曲线峰值后延性也相应增加；随橡胶颗粒掺量的增加，SF-橡胶/混凝土试件相应峰值应力的应变及全曲线峰值后延性增加，而抗压强度及弹性模量有所减小。在已有研究基础上，通过曲线拟合试验数据，提出适用于SF-橡胶/混凝土的单轴受压应力-应变全曲线数学表达式，模型与试验结果吻合较好，为此类混凝土的结构分析设计提供了理论基础。
- 钢纤维-橡胶/混凝土 /
- 单轴受压应力-应变全曲线试验 /
- 钢纤维掺量 /
- 橡胶掺量 /
- 本构模型
Abstract: Adding steel fiber (SF) into rubber concrete can improve the strength reduction caused by the incorporation of rubber particles, and further increase the ductility. Ten groups of SF-rubber/concrete under uniaxial compression were conducted in order to study the compressive properties. The crumb rubber particles were incorporated at different percentages of 0%, 10% and 20% by volume substation of sand, and SF with volume fraction of 0vol%, 0.5vol%, 1.0vol%, and 1.5vol% were added to the concrete mixture. The results show that the bridging action of SF and its positive synergy with rubber particles in SF-rubber/concrete can improve the compressive behavior of concrete. The failure process of SF-rubber/concrete specimens is mild and slow, and the failure mode is obviously ductile. After adding SF, the compressive strength and elastic modulus of the SF-rubber/concrete increase obviously, and the strains at the peak stress and the post-peak ductility increase. With the increase of rubber particles, the strain at the peak stress and the post-peak ductility of SF-rubber/concrete further increase. But the compressive strength and elastic modulus of SF-rubber/concrete are reduced by adding rubber particles. Based on the test data and the literature of stress-strain curve expression, a more suitable analytical model was proposed to generate the stress-strain curve of SF-rubber/concrete, which can be applied in the analysis and design of SF-rubber/concrete structural members.
- steel fiber-rubber/concrete /
- stress-strain curve test under uniaxial compression /
- volume fraction of steel fiber /
- volume substation of rubber particles /
- constitutive model

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橡胶/混凝土是将废旧橡胶制成颗粒掺入混凝土中，制备的一种新型再生环保建筑材料，极大解决了废旧轮胎橡胶的占地和环境污染等问题。由于橡胶的高弹性、高黏性等优点，橡胶/混凝土的延性、韧性、抗裂性较好，还兼具隔热隔音及减震降噪等优点。但由于橡胶颗粒与水泥基体的黏结及搅拌引入气体孔隙率高等问题，橡胶/混凝土的抗压强度和弹性模量有所减小，影响其在工程中的推广应用^[1-3]。近年来，为扩大橡胶/混凝土的应用范围，国内外学者将钢纤维(SF)掺入橡胶/混凝土，制备得到SF-橡胶/混凝土，对其收缩开裂、抗压及弯曲性能、断裂韧性等方面进行研究^[4-7]。研究表明，SF和橡胶混掺能够发挥纤维的拉结及橡胶的增韧作用，显著改善混凝土的力学性能。相较于橡胶/混凝土，SF-橡胶/混凝土在应用于道路及市政工程中可表现出更好的抗裂及耐久性能，并有望部分应用于延性韧性需求较大的结构构件中。

混凝土受压全曲线是其基本受压特性的综合宏观反映，作为研究混凝土结构承载力和变形的主要依据，对于分析构件极限状态时截面的应力分布、弹塑性全过程、结构抗震延性及恢复力特性等方面具有重要意义。国内外学者对普通混凝土、橡胶/混凝土及SF/混凝土在单轴受压条件下的力学行为均开展了大量研究，其中针对普通混凝土单轴受压本构模型的研究已较为成熟，包括国内外学者提出的Carreira-Chu模型^[8]、过镇海模型^[9]及GB 50010—2010中损伤本构模型(规范损伤本构模型)^[10]等。针对橡胶/混凝土或SF/混凝土的单轴受压本构模型多以上述三种普通混凝土本构模型为基础，结合试验研究数据，考虑不同橡胶颗粒的掺量和粒径，或不同SF的种类、长径比和体积掺量及混凝土强度等方面的影响，提出修正的本构参数^[11-15]或本构模型^[16-25]。但目前针对SF-橡胶/混凝土单轴受压应力-应变全曲线试验及本构模型的研究尚未见公开报道。

本文通过10组试件的单轴受压应力-应变全曲线试验，研究橡胶掺量、SF掺量对SF-橡胶/混凝土的轴压破坏形态、轴心抗压强度、弹性模量等方面的影响，并以GB 50010—2010^[10]中规范损伤本构模型为基础拟合试验数据，提出了SF-橡胶/混凝土单轴受压应力-应变全曲线模型。

1. 试件概况

1.1 试验材料

水泥采用P.O 42.5普通硅酸盐水泥；粗骨料采用玄武岩碎石，连续级配，粒径为5~20 mm；细骨料采用中砂，连续级配，细度模数为2.64；减水剂采用HSC聚羧酸高性能减水剂，固含量为30%，减水率大于25%；橡胶集料的平均粒径约为1 mm，密度约为1050 kg/m³；钢纤维(SF)采用冷拔钢丝端钩型SF，其长度为30 mm，长径比为40，抗拉强度大于等于1000 MPa。

1.2 试件设计

试件设计时以橡胶掺量和SF掺量为主要研究参数。普通混凝土(PC)试件按强度等级C60设计，水胶比为0.34；橡胶颗粒以等体积取代细骨料的方式掺加，取代率 ${\rho _{\rm{r}}}$ 分别为0%、10%、20%；SF掺杂的体积分数 ${V_{\rm{f}}}$ 分别为0vol%、0.5vol%、1.0vol%、1.5vol%。设计了4组SF-橡胶/混凝土试件、2组橡胶/混凝土试件、3组SF/混凝土试件和1组PC对比试件，共10组，具体配比如表1所示。每组有3个尺寸为100 mm×100 mm×100 mm的立方体试件用于测定立方体抗压强度；6个尺寸为100 mm×100 mm×300 mm的棱柱体试件，其中3个试件测定轴心抗压强度，用以确定全曲线试验的预加载标准，另外3个试件用于测定单轴受压应力-应变全曲线。试件在标准养护室内养护28 d后进行单轴受压应力-应变全曲线试验。

表 1 试验混凝土配比

Table 1. Mixture proportions of test concretes

Type	Specimen denotation	Water-binder mass ratio	Volume fraction of steel fiber/vol%	Volume substitution ratio of rubber particles/%	Water/ kg	Cement/ kg	Fine aggregate/ kg	Coarse aggregate/ kg	Mass fraction of super plasticizer/ wt%
PC	R-0-F-0.0	0.34	0	0	160	470	820	960	1
Rubber/ concrete	R-10-F-0.0	0.34	0	10	160	470	738	960	1
Rubber/ concrete	R-20-F-0.0	0.34	0	20	160	470	656	960	1
SF/ concrete	R-0-F-0.5	0.34	0.5	0	160	470	820	960	1
	R-0-F-1.0	0.34	1.0	0	160	470	820	960	1
	R-0-F-1.5	0.34	1.5	0	160	470	820	960	1
SF-rubber/ concrete	R-10-F-0.5	0.34	0.5	10	160	470	738	960	1
	R-10-F-1.0	0.34	1.0	10	160	470	738	960	1
	R-10-F-1.5	0.34	1.5	10	160	470	738	960	1
	R-20-F-1.0	0.34	1.0	20	160	470	656	960	1
Notes: PC—Plain concrete; SF—Steel fiber; R—Rubber particles; R-0, R-10, R-20—Rubber volume substitution ratios of 0%, 10% and 20%, respectively; F—Steel fiber; F-0.0, F-0.5, F-1.0, F-1.5—Steel fiber volume fractions of 0vol%, 0.5vol%, 1.0vol% and 1.5vol%, respectively.

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1.3 加载装置和试验方法

混凝土单轴受压应力-应变全曲线试验参考文献[3,15]中的方法进行。采用300 t YAW-3000A型微机控制电液伺服压力机进行加载。为保证卸载阶段的稳定，在压力机下设置刚性组件来保证压力机刚度。在装置两侧设置位移计，来测量试件的轴向压缩量，用来控制加载速率。在棱柱体试件中部设置WTB-100型引伸计，来测量试件压缩应变。试验正式开始前，先进行预压，预压荷载相当于破坏荷载的40%。试验正式加载时，峰值前加荷速度取0.5~0.8 MPa/s，其后按变形控制，取0.1~0.2 mm/min。图1为试件单轴受压应力-应变全曲线加载装置。

图 1 单轴受压应力-应变全曲线试验加载装置

Figure 1. Test setup of uniaxial compressive stress-strain curves

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2. 试验过程及破坏形态

2.1 SF-橡胶/混凝土受压破坏过程

图2为SF-橡胶/混凝土试件的单轴受压破坏过程示意图。可知，SF-橡胶/混凝土试件受压破坏过程可分为6个阶段：OA段为弹性阶段，骨料和水泥结晶体及橡胶产生弹性变形，基本没有初始裂缝发展；AB段为细观裂缝扩展阶段，内部初始裂缝开始延伸，橡胶颗粒在砂浆基体中起到一定的阻裂作用，SF起到的作用有限，试件表面产生微裂缝；BC段为宏观裂缝扩展阶段，裂缝在砂浆基体中逐渐发展，横向变形增大，表面出现明显短裂缝，达到峰值荷载时裂缝贯通成破坏面，此阶段橡胶由于本身强度低且其周围易引入气泡形成薄弱带，SF由于裂缝扩展开始起到阻裂作用；CD段为断裂发生段，宏观裂缝延伸扩展，形成主裂缝并沿对角线平行分布，SF有效阻止了裂缝发展速率，约束混凝土横向变形，且由于橡胶加入，裂缝更为细密，与橡胶颗粒的协同作用使更多SF能够参与横跨裂缝受力；DE段为持续破坏阶段，裂缝进一步扩展，主裂缝贯通且持续变大，裂缝周边混凝土剥落，SF徐徐拔出，但由于SF桥接作用，开裂截面仍能相连紧密；EF段为收敛阶段，裂缝形成破坏带，SF拔出，裂缝间荷载主要由SF承担，随着承载的SF减少，试件最终破坏。

图 2 钢纤维(SF)-橡胶/混凝土试件受压破坏过程示意图

Figure 2. Schematic diagrams of compressive process of steel fiber (SF)-rubber/concrete specimens

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2.2 SF-橡胶/混凝土受压破坏形态

图3为SF-橡胶/混凝土试件的受压破坏形态。可知，PC试件发生纵向劈裂破坏，裂缝沿棱柱体高度方向劈裂贯通，裂缝宽度较大，试件破碎严重；峰值后应力陡降，脆性破坏特征明显。橡胶/混凝土试件同样发生纵向劈裂破坏，但相对于PC试件，其表面裂缝较少，试件较为完整，具有一定的延性破坏特征。这主要是由于橡胶具有很好的变形能力，在水泥基材料中充当阻尼器作用，减缓裂缝尖端应力集中，从而减缓裂缝聚结避免形成主裂缝。SF/混凝土试件的斜裂缝明显，裂缝宽度较大，主斜裂缝由细密裂缝交叉聚结而成，试件破坏完整；峰值后应力未出现陡降，延性行为明显。这主要是由于裂缝间SF的桥联作用，即使裂缝较大试件仍能够承载。与SF/混凝土试件相比，SF-橡胶/混凝土试件的表面裂缝扩展较慢，裂缝宽度较小，裂缝走向更曲折，裂缝带范围分布更广，在加载过程中表现为明显的延性破坏。这主要是由于橡胶的加入使裂缝更为细密，与橡胶的协同作用使得更多的SF参与横跨裂缝受力。

图 3 SF-橡胶/混凝土试件的受压破坏形态

Figure 3. Compressive failure modes of SF-rubber/concrete specimens

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2.3 SF-橡胶/混凝土轴心抗压应力-应变

图4为SF-橡胶/混凝土试件单轴受压应力-应变全曲线。由图4(a)可知，随着橡胶掺量增加，橡胶/混凝土相应峰值应力的应变及全曲线峰值后延性增加，但峰值应力降低。由图4(b)和图4(c)可见，对于SF/混凝土及SF-橡胶/混凝土，随着SF掺量增加，峰值应力及相应峰值应力的应变明显增大，全曲线峰值后延性也相应增加。由图4(d)可见，随着橡胶掺量增加，相比SF/混凝土，SF-橡胶/混凝土的峰值应力同样减小，但由于SF的拉结作用及其与橡胶的相互协同作用，其相应峰值应力的应变及全曲线峰值后延性增加。

图 4 SF-橡胶/混凝土试件单轴受压应力-应变全曲线

Figure 4. Uniaxial compressive stress-strain curves of SF-rubber/concrete specimens

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2.4 SF-橡胶/混凝土抗压强度和相应峰值应力的应变

表2为SF-橡胶/混凝土试件单轴受压试验及计算结果。可知，随着橡胶的加入，橡胶/混凝土试件抗压强度明显减小，进一步加入SF后，SF-橡胶/混凝土试件抗压强度明显增大。当橡胶掺量为10%时，橡胶/混凝土的抗压强度较PC减小了15%；加入1.5vol%的SF后，SF-橡胶/混凝土的抗压强度较橡胶/混凝土提高了12%，较PC仅减小了4%。另一方面，掺入SF或橡胶颗粒后，试件相应峰值应力的应变均有一定程度的增大。

表 2 SF-橡胶/混凝土试件单轴受压试验及计算结果

Table 2. Uniaxial compressive tests and calculation results of SF-rubber/concrete specimens

Specimen type	Specimen denotation	${f_{{\rm{cu}}}}$ /MPa	${f_{{\rm{c,t}}}}$ /MPa	${f_{{\rm{c,c}}}}$ /MPa	$\dfrac{{{f_{{\rm{c,t}}}}}}{{{f_{{\rm{c,c}}}}}}$	${\varepsilon _{{\rm{c,t}}}}$ /10⁻³	${\varepsilon _{{\rm{c,c}}}}$ /10⁻³	$\dfrac{{{\varepsilon _{{\rm{c,t}}}}}}{{{\varepsilon _{{\rm{c,c}}}}}}$	${E_{{\rm{c,t}}}}$ /10⁴	${E_{{\rm{c,c}}}}$ /10⁴	$\dfrac{{{E_{{\rm{c,t}}}}}}{{{E_{{\rm{c,c}}}}}}$
PC	R-0-F-0.0	68.7	48.9	48.9	1.00	1.95	1.90	1.02	3.81	3.70	1.03
Rubber/concrete	R-10-F-0.0	58.5	41.3	40.4	1.02	2.11	2.11	1.00	3.36	3.39	0.99
Rubber/concrete	R-20-F-0.0	46.5	32.0	32.0	1.00	2.40	2.40	1.00	3.09	3.03	1.02
SF/concrete	R-0-F-0.5	72.1	51.1	51.0	1.00	2.06	2.07	1.00	3.99	3.98	1.00
	R-0-F-1.0	74.7	53.1	53.1	1.00	2.25	2.23	1.00	4.25	4.26	1.00
	R-0-F-1.5	78.9	56.4	55.1	1.02	2.43	2.42	1.00	4.53	4.55	1.00
SF-rubber/ concrete	R-10-F-0.5	60.2	42.7	42.5	1.00	2.31	2.26	1.02	3.55	3.65	0.97
	R-10-F-1.0	61.4	42.2	44.6	0.95	2.52	2.39	1.06	3.82	3.91	0.98
	R-10-F-1.5	65.7	46.1	46.7	0.99	2.60	2.59	1.00	4.17	4.21	0.99
	R-20-F-1.0	48.9	34.1	36.1	0.94	2.73	2.70	1.01	3.70	3.53	1.05
Notes: ${f_{{\rm{cu}}}}$ —Cube compressive strength; ${f_{{\rm{c,t}}}}$ —Experimental axial compressive strength; ${f_{{\rm{c,c}}}}$ —Calculated axial compressive strength; ${\varepsilon _{{\rm{c,t}}}}$ —Experimental strain at peak stress point; ${\varepsilon _{{\rm{c,c}}}}$ —Calculated strain at peak stress point; ${E_{{\rm{c,t}}}}$ —Experimental elastic modulus; ${E_{{\rm{c,c}}}}$ —Calculated elastic modulus.

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考虑SF和橡胶掺入对轴心抗压强度 ${f_{\rm{c}}}$ 的影响，引入SF及橡胶特征参数 ${\lambda _{\rm{f}}}$ 、 ${\lambda _{\rm{r}}}$ 进行回归分析，得到SF-橡胶/混凝土轴心抗压强度计算公式如下：

${f_{{\rm{c,c}}}} = (1 - 1.65{\lambda _{\rm{r}}} + 0.23{\lambda _{\rm{f}}}){f_{{\rm{c}},0}}$

(1)

式中： ${f_{{\rm{c}},0}}$ 为基体普通混凝土的轴心抗压强度； ${\lambda _{\rm{f}}}$ 为SF特征参数， ${\lambda _{\rm{f}}} = {V_{\rm{f}}}{l_{\rm{f}}}/{d_{\rm{f}}}$ ，其中 ${V_{\rm{f}}}$ 、 ${l_{\rm{f}}}$ 、 ${d_{\rm{f}}}$ 分别为SF体积分数、长度和等效直径， ${l_{\rm{f}}}/{d_{\rm{f}}}$ 为SF长径比； ${\lambda _{\rm{r}}}$ 为橡胶特征参数， ${\lambda _{\rm{r}}} = {\rho _{\rm{r}}} {d_{\rm{r}}}$ ，其中 ${\rho _{\rm{r}}}$ 、 ${d_{\rm{r}}}$ 分别为橡胶颗粒等体积替换率和平均粒径。

考虑SF和橡胶掺入对相应峰值应力的应变 ${\varepsilon _{\rm{c}}}$ 影响，引入SF及橡胶特征参数 ${\lambda _{\rm{f}}}$ 、 ${\lambda _{\rm{r}}}$ ，对规范损伤本构模型中 ${\varepsilon _{\rm{c}}}$ 计算公式进行修正，得到SF-橡胶/混凝土相应峰值应力的应变计算公式如下：

$\begin{split} {\varepsilon _{{\rm{c}},{\rm{c}}}} = &\left( {700 + 172\sqrt {{f_{{\rm{c}},{\rm{0}}}}} } \right)\left( {1.0 + 3.986{\lambda _{\rm{r}}}^{1.3735} + } \right.\\& \left. {0.361{\lambda _{\rm{f}}} } \right)\times {{10}^{ - 6}} \end{split}$

(2)

由式(1)和式(2)计算得到SF-橡胶/混凝土的抗压强度及相应峰值应力的应变与试验结果对比如表2所示，可见，计算值与试验值吻合较好。

2.5 SF-橡胶/混凝土弹性模量

由表2可见，弹性模量与抗压强度之间存在密切关系，橡胶颗粒的掺入使SF-橡胶/混凝土的弹性模量明显减小；而SF的加入具有阻裂和约束侧向膨胀的作用，使试件弹性模量明显增大。当橡胶掺量为10%时，橡胶/混凝土的弹性模量较PC减小了12%；加入1.5vol%的SF后，SF-橡胶/混凝土的弹性模量较橡胶/混凝土提高了24%，较PC提高了9%。

考虑SF和橡胶掺入对弹性模量 ${E_{\rm{c}}}$ 的影响，引入SF及橡胶特征参数 ${\lambda _{\rm{f}}}$ 、 ${\lambda _{\rm{r}}}$ ，对规范损伤本构模型中 ${E_{\rm{c}}}$ 的计算公式进行修正，得到SF-橡胶/混凝土弹性模量计算公式如下：

${E_{{\rm{c,c}}}} = \dfrac{{{{10}^5}}}{{2.2 + {{34.7}}/{{{f_{{\rm{cu,k}}}}}}}}(1 - 0.533{\lambda _{\rm{r}}} + 0.335{\lambda _{\rm{f}}})$

(3)

式中， ${f_{{\rm{cu,k}}}}$ 为SF-橡胶/混凝土立方体抗压强度标准值。

3. SF-橡胶/混凝土单轴受压本构模型

为提出适用于SF-橡胶/混凝土的单轴受压本构模型，首先将试验所得PC、橡胶/混凝土及SF/混凝土的单轴受压应力-应变全曲线与几种常用的PC、橡胶/混凝土及SF/混凝土的本构模型进行对比评估。在此基础上，考虑橡胶掺量和SF掺量对本构模型的影响，给出SF-橡胶/混凝土单轴受压本构模型。

3.1 试验应力-应变全曲线与已有模型比较

国内外学者针对PC本构模型的研究已较为成熟，如Carreira-Chu模型^[8]、过镇海模型^[9]及GB 50010—2010中的规范损伤本构模型^[10]，如表3所示。其中，规范损伤本构模型采用损伤本构关系来表达，材料全曲线峰值后延性采用形状参数 ${\alpha _{\rm{c}}}$ 来表述， ${\alpha _{\rm{c}}}$ 越小，下降段越平缓，峰值后延性越好。图5(a)为本试验所得PC单轴受压应力-应变全曲线与上述三种模型的对比。可见，规范损伤本构模型吻合较好。因此，SF-橡胶/混凝土的单轴受压应力-应变全曲线表达式可参考规范损伤本构模型，但对其参数 ${\alpha _{\rm{c}}}$ 进行修正。

表 3 国内外常用普通混凝土(PC)、橡胶/混凝土和SF/混凝土受压应力-应变曲线模型

Table 3. Theoretical stress-strain models of plain concrete (PC), rubber/concrete and SF/concrete under compression in literatures

	References	${f_{\rm{c}}}$ /MPa	Admixture	Constitutive models and parameter
PC	Carreia-Chu et al^[8]	—	—	$\sigma = \dfrac{{{f_{\rm{c}}}\beta (\varepsilon/{\varepsilon _{\rm{c}}})}}{{\beta - 1 + {{(\varepsilon/{\varepsilon _{\rm{c}}})}^\beta }}}$ ; $\beta = {\left( {\dfrac{{{f_{\rm{c}}}}}{{32.4}}} \right)^3} + 1.55$ ; ${\varepsilon _{\rm{c}}} = 700{({f_{\rm{c}}})^{0.25}} \times {10^{ - 6}}$
	Guo^[9]	—	—	$x = \dfrac{\varepsilon }{{{\varepsilon _{\rm{c}}}}}$ ; $y = \dfrac{\sigma }{{{f_{\rm{c}}}}}$ ; $y = \left\{ \begin{array}{l} ax + (3 - 2a){x^2} + (a - 2){x^3}\mathop {}\limits_{} (0 < x \leqslant 1) \\ \dfrac{x}{{b{{(x - 1)}^2} + x}}\mathop {}\limits_{} (x > 1) \\\end{array} \right.$ $a = 2.4 - 0.0125{f_{\rm{c}}};\;b = 0.157{f_{\rm{c}}}^{0.795} - 0.905$
	GB 50010—2010^[10]	—	—	$\sigma = (1 - {d_{\rm{c}}}){E_{\rm{c}}}\varepsilon$ ; ${d_{\rm{c}}} = \left\{ \begin{array}{l} 1 - \dfrac{{{\rho _{\rm{c}}}n}}{{n - 1 + {x^n}}}\mathop {}\nolimits_{} (\varepsilon \leqslant {\varepsilon _{\rm{c}}}) \\ 1 - \dfrac{{{\rho _{\rm{c}}}n}}{{{\alpha _{\rm{c}}}{{(x - 1)}^2} + x}}\mathop {}\nolimits_{} (\varepsilon > {\varepsilon _{\rm{c}}}) \\\end{array} \right.$ ; ${\rho _{\rm{c}}} = \dfrac{{{f_{\rm{c}}}}}{{{E_{\rm{c}}}{\varepsilon _{\rm{c}}}}}$ ; $n = \dfrac{{{E_{\rm{c}}}{\varepsilon _{\rm{c}}}}}{{{E_{\rm{c}}}{\varepsilon _{\rm{c}}} - {f_{\rm{c}}}}}$ ; $x = \dfrac{\varepsilon }{{{\varepsilon _{\rm{c}}}}}$ ; ${\alpha _{\rm{c}}} = 0.157f_{\rm{c}}^{0.785} - 0.905$ ${\varepsilon _{\rm{c}}} = 700 + 172\sqrt {{f_{\rm{c}}}} \times {10^{ - 6}}$
Rubber/ concrete	Feng et al^[16]	50–80	Amount: 0–37.8 kg∙m⁻³ Size: 0.198–8 mm	${a_1} = 2.4 - 0.01{f_{{\rm{cu}}}}$ ; $a = {a_1}(1 - 0.0529{\rho _{\rm{r}}}d_{\rm{r}}^{ - 0.0347})$ ${a_2} = 0.132f_{{\rm{cu}}}^{0.785} - 0.905$ ; $b = {a_2}(1 + 0.046{\rho _{\rm{r}}}d_{\rm{r}}^{ - 0.135})$ ${f_{{\rm{c}},{\rm{r}}}} = {f_{\rm{c}}} \times {{\rm{e}}^{\left( {\frac{{ - 0.0251{\rho _{\rm{r}}}{d_{\rm{r}}}}}{{ - 0.1058 + {d_{\rm{r}}}}}} \right)}}$ ; ${\varepsilon _{{\rm{c}},{\rm{r}}}} = (3\;666.7 - 105.8\sqrt {{f_{{\rm{c}},{\rm{r}}}}} ) \times {10^6}$
	Li et al^[17]	30–50	Amount: 0–50.92 kg∙m⁻³ Size: 0.173–4 mm	$a = (2.4 - 0.0125{f_{\rm{c}}}) \times \exp \left(0.107{\rm{ln}}{d_{\rm{r}}} + \dfrac{{0.006\rho _{\rm{r}}^{1.0169}{d_{\rm{r}}}}}{{{d_{\rm{r}}} - 0.1287}}\right)$ ; $b = (0.157{f_{\rm{c}}}^{0.785} - 0.905) \times \exp \left(0.0617{\rm{ln}}{d_{\rm{r}}} - \dfrac{{0.283\rho _{\rm{r}}^{0.3322}{d_{\rm{r}}}}}{{{d_{\rm{r}}} + 0.0018}}\right)$ ; ${f_{{\rm{c}},{\rm{r}}}} = {f_{\rm{c}}} \times \exp \left( {\dfrac{{ - 0.0734{\rho _{\rm{r}}}^{0.4947}{k^{ - 3.2634}}{d_{\rm{r}}}}}{{{d_{\rm{r}}} - 0.0737}}} \right)$ ; ${\varepsilon _{{\rm{c}},{\rm{r}}}} = (938.0584 + 158.1626\sqrt {{f_{{\rm{c}},{\rm{r}}}}} ) \times {10^6}$
	Li et al^[18]	35–50	Amount: 0–40.5 kg∙m⁻³ Size: 1.18 mm, 2.36 mm	$\beta = \left\{ \begin{array}{l} {\left[ {1.02 - 1.17/({E_{\rm{p}}}/{E_{{\rm{c}},{\rm{r}}}})} \right]^{ - 0.74}}\mathop {}\nolimits_{} (\varepsilon \leqslant {\varepsilon _{{\rm{c}},{\rm{r}}}}) \\ {\left[ {1.02 - 1.17/({E_{\rm{p}}}/{E_{{\rm{c}},{\rm{r}}}})} \right]^{ - 0.74}} + (\gamma + \mu )\mathop {}\nolimits_{} (\varepsilon > {\varepsilon _{{\rm{c}},{\rm{r}}}}) \\ \end{array} \right.$ $\gamma = {(135.16 - 0.1744{f_{{\rm{c}},{\rm{r}}}})^{ - 0.46}}$ ; $\mu = 0.35\exp ( - 9.11/{f_{{\rm{c}},{\rm{r}}}})$ ${E_{\rm{p}}} = {f_{{\rm{c}},{\rm{r}}}}/{\varepsilon _{{\rm{c}},{\rm{r}}}}$ ; ${\varepsilon _{{\rm{c}},{\rm{r}}}} = ({f_{{\rm{c}},{\rm{r}}}}/{E_{{\rm{c}},{\rm{r}}}})\left[ {\upsilon/(\upsilon - 1)} \right]$ ; $\upsilon = {f_{{\rm{c}},{\rm{r}}}}/17 + 0.8$ ;
SF/concrete	Nataraja^[19]	30–50	Type: Corrugated ${l_{\rm{f}}}/{d_{\rm{f}}}$ : 55, 82; ${V_{\rm{f}}}$ : 0vol%, 0.5vol%, 0.75vol%, 1.0vol%	$\beta = 0.5811 + 1.93\lambda _{\rm{f}}^{ - 0.7406}$ ${f_{{\rm{c}},{\rm{f}}}} = {f_{\rm{c}}} + 2.1604{\lambda _{\rm{f}}}$ ; ${\varepsilon _{{\rm{c}},{\rm{f}}}} = {\varepsilon _{\rm{c}}} + 0.0006{\lambda _{\rm{f}}}$
	Gao^[23]	20–30	Type: Shear-wave ${l_{\rm{f}}}/{d_{\rm{f}}}$ : 46; ${V_{\rm{f}}}$ : 0vol%, 0.5vol%, 1.5vol%, 2.0vol%	$a = {E_{{\rm{c}},{\rm{f}}}}(1.3 + 0.014{f_{{\rm{c}},{\rm{f}}}} + 0.96{\lambda _{\rm{f}}})/{f_{{\rm{c}},{\rm{f}}}} \times {10^3}$ $b = (1.4 + 0.012{f_{{\rm{c}},{\rm{f}}}}^{1.45})(1 - 0.8{\lambda _{\rm{f}}}^{0.295})$ , $1.5 \leqslant a < 3.0$
	Zhang^[24]	40–50
	Lv et al^[25]	50–90	Type: Hooked-end ${l_{\rm{f}}}/{d_{\rm{f}}}$ : 62.5; ${V_{\rm{f}}}$ : 0vol%, 1.0vol%, 1.5vol%, 2.0vol%	${\alpha _{{\rm{c}},{\rm{f}}}} = (0.157f_{\rm{c}}^{0.785} - 0.905)\left[ {1 - 0.0192({l_{\rm{f}}}/{d_{\rm{f}}}){V_{\rm{f}}}^{0.08}} \right]$ ${\varepsilon _{{\rm{c}},{\rm{f}}}} = (700 + 172\sqrt {{f_{\rm{c}}}} )(1.0 + 0.189{\lambda _{\rm{f}}}) \times {10^{ - 6}}$ ${E_{ {\rm{c} },{\rm{f} } } } = \dfrac{ { { {10}^5} } }{ {2.2 + \left({ {34.7} }/{ { {f_{ {\rm{cu} },{\rm{k} } } } } }\right)} }(1 - 0.0006{\lambda _{\rm{f} } })$
Notes: ${f_{\rm{c}}}$ —Axial compressive strength of PC; ${\varepsilon _{\rm{c}}}$ —strain at peak stress point of PC; ${\varepsilon _{\rm{u}}}$ —Ultimate strain of PC; ${d_{\rm{c}}}$ —Damage evolution parameters of PC; ${f_{{\rm{c}},{\rm{r}}}}$ —Peak stress of Rubber/Concrete; ${\varepsilon _{{\rm{c}},{\rm{r}}}}$ —Strain at peak stress point of Rubber/Concrete; $E{}_{{\rm{c}},{\rm{r}}}$ —Elastic modulus of Rubber/Concrete; ${f_{{\rm{c}},{\rm{f}}}}$ —Peak stress of SF/Concrete; ${\varepsilon _{{\rm{c}},{\rm{f}}}}$ —Strain at peak stress point of SF/Concrete; $E{}_{{\rm{c}},{\rm{f}}}$ —Elastic modulus of SF/Concrete; V_f—Volume fraction of steel fiber; l_f/d_f—Length to diameter ratio of SF.

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图 5 PC、橡胶/混凝土、SF/混凝土试件单轴受压应力-应变曲线理论模型与试验曲线比较

Figure 5. Comparison between theoretical and experimental curves of PC, rubber/concrete, SF/concrete specimens

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已有文献中，橡胶/混凝土的试验研究所采用的橡胶颗粒的掺量、粒径及基准混凝土强度等均不同(如表3所示)，所得试验结果及相应本构关系模型差异较大。由表3可知，冯文贤等^[16]和Li等^[17]均是基于过镇海模型^[9]，考虑橡胶颗粒掺入的影响，提出了包含上升段和下降段橡胶/混凝土的应力-应变本构关系公式；而Li等^[18] 则是基于Carreira-Chu模型^[8]，针对橡胶/混凝土全曲线的上升段和下降段分别采用不同 $\beta$ 值建立相应的应力-应变本构关系公式。图5(b)和图5(c)为本试验所得橡胶/混凝土单轴受压应力-应变全曲线与上述三种模型的对比。可见，冯文贤等^[16]和Li等^[17]提出的模型所得曲线分别在橡胶掺量较大和橡胶掺量较小时吻合较差；而在本试验橡胶掺量范围内，Li等^[18]提出的模型所得曲线的下降段均较缓，高估了材料峰值后延性。

已有文献中，SF/混凝土的试验研究所采用SF的种类、长径比、体积掺量及基准混凝土强度等不同(如表3所示)，所得试验结果及相应的本构关系模型差异较大。由表3可知，Nataraja等^[19]运用Carreira-Chu模型来描述SF/混凝土本构关系，并针对不同SF长径比和掺量给出了修正的本构参数 $\beta$ 计算公式；高丹盈^[23]和张晓燕等^[24]基于过镇海模型，得到适用于20~40 MPa的SF/混凝土应力-应变本构关系模型；吕西林等^[25]基于规范损伤本构模型，考虑SF长径比和掺量的影响，提出下降段本构参数 ${\alpha _{\rm{c}}}$ 的修正表达式。图5(d)~图5(f)为本试验所得SF/混凝土单轴受压应力-应变全曲线与上述三种模型的对比。可见，在本试验SF掺量范围内，Nataraja等^[19] 提出的模型所得曲线的下降段均较缓；高丹盈^[23] 提出的模型所得曲线吻合度较高，但在SF掺量为1.0vol%时曲线下降段偏缓；在SF掺量较小时，吕西林等^[25]提出的模型所得曲线的吻合度较差。

3.2 SF-橡胶/混凝土本构模型的修正

在混凝土中掺入橡胶及SF对单轴受压应力-应变全曲线的影响主要体现在下降段，使下降段延性增加。本文基于规范损伤本构模型，引入橡胶和SF特征参数 ${\lambda _{\rm{r}}}$ 、 ${\lambda _{\rm{f}}}$ ，考虑橡胶和SF的影响，并引入协同系数 $\varphi$ ，综合考虑两者的相互协同作用，得到SF-橡胶/混凝土统一的下降段形状参数 ${\alpha _{\rm{c}}}$ 。修正后公式如下：

$\sigma = (1 - {d_{{\rm{c}},{\rm{c}}}}){E_{{\rm{c}},{\rm{c}}}}\varepsilon \tag{4a}$

(4a)

$x \leqslant 1,{d_{{\rm{c}},{\rm{c}}}} = 1 - \frac{{{\rho _{{\rm{c}},{\rm{c}}}}n}}{{n - 1 + {x^n}}}\tag{4b}$

(4b)

$x > 1,{d_{{\rm{c}},{\rm{c}}}} = 1 - \frac{{{\rho _{{\rm{c}},{\rm{c}}}}n}}{{{\alpha _{{\rm{c}},{\rm{c}}}}{{(x - 1)}^2} + x}}\tag{4c}$

(4c)

${\rho _{{\rm{c}},{\rm{c}}}} = \frac{{{f_{{\rm{c}},{\rm{c}}}}}}{{{E_{{\rm{c}},{\rm{c}}}}{\varepsilon _{{\rm{c}},{\rm{c}}}}}}\tag{4d}$

(4d)

$n = \frac{{{E_{{\rm{c}},{\rm{c}}}}{\varepsilon _{{\rm{c}},{\rm{c}}}}}}{{{E_{{\rm{c}},{\rm{c}}}}{\varepsilon _{{\rm{c,c}}}} - {f_{{\rm{c}},{\rm{c}}}}}}\tag{4e}$

(4e)

$x = \frac{\varepsilon }{{{\varepsilon _{{\rm{c}},{\rm{c}}}}}}\tag{4f}$

(4f)

$\begin{split} {\alpha _{{\rm{c}},{\rm{c}}}} =& (0.157f_{{\rm{c}},{\rm{c}}}^{0.785} - 0.905)\\& \left[ {1 - \varphi (14.290{\lambda _{\rm{r}}}^{2.125} + 1.121{\lambda _{\rm{f}}}^{1.456})} \right] \end{split}\tag{5a}$

(5a)

$\varphi = \left\{ \begin{array}{l} {\lambda _{\rm{f}}}^{0.02}/{e^{{\lambda _{\rm{r}}}}},\mathop {}\nolimits^{} {\lambda _{\rm{f}}} \ne 0 \cap {\lambda _{\rm{r}}} \ne 0 \\ 1,\mathop {}\nolimits^{} \mathop {}\nolimits^{} {\lambda _{\rm{f}}} = 0 \cup {\lambda _{\rm{r}}} = 0 \\ \end{array} \right.\tag{5b}$

(5b)

式中， ${d_{{\rm{c}},{\rm{c}}}}$ 为SF-橡胶/混凝土单轴受压损伤演化参数。

图6为SF-橡胶/混凝土的形状参数 ${\alpha _{\rm{c}}}$ 拟合效果。图7为SF-橡胶/混凝土单轴受压应力-应变曲线理论模型与试验曲线对比。可见，理论模型所得结果与试验结果吻合较好。

图 6 SF-橡胶/混凝土形状参数

${\alpha _{\rm{c}}}$ 拟合效果对比

Figure 6. Comparison of shape parameters

${\alpha _{\rm{c}}}$ between experimental and predicted results of SF-rubber/concrete

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值得注意的是，混凝土基体性能、橡胶粒径和掺量、SF类型及长径比对本构模型的下降段均有影响，而本试验中所采用的橡胶粒径、SF类型和长径比较为单一，因此本文所提出的本构关系公式适用于基准混凝土强度在50~70 MPa之间、橡胶平均粒径约为1 mm、橡胶等体积替代砂率为0%~20%、SF为端钩型、SF长径比约为40、SF体积分数为0vol%~1.5vol%的情况。根据具体条件，使用时建议在实际试验结果的基础上对下降段形状参数 ${\alpha _{\rm{c}}}$ 进行调整。

4. 结论

(1)橡胶和钢纤维(SF)掺入混凝土试件中，使试件受压破坏呈明显延性特征，试件保持完整。SF的桥联作用及其与橡胶的相互协同作用，使试件裂缝宽度更小，扩展更缓慢，裂缝带范围分布更广，表现出更好的轴压韧性。

图 7 SF-橡胶/混凝土单轴受压应力-应变曲线理论模型与试验曲线对比

Figure 7. Comparison between theoretical and experimental uniaxial compressive stress-strain curves of SF-rubber/concrete

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(2)随着SF掺量的增加，SF-橡胶/混凝土的抗压强度、相应峰值应力的应变及弹性模量均明显增大，且全曲线峰值后延性也增加。在橡胶掺量(橡胶颗粒等体积替换砂率)为10%的橡胶/混凝土中掺入1.5vol% SF，其抗压强度和弹性模量分别提高了12%和24%。表明SF的掺入减弱了橡胶颗粒对混凝土抗压强度和弹性模量上的不利影响。

(3)随着橡胶掺量的增加，SF-橡胶/混凝土相应峰值应力的应变增大，全曲线峰值后延性增加，但其抗压强度及弹性模量减小。

(4)综合考虑橡胶和SF影响及相互协同作用，提出了适用于SF-橡胶/混凝土的单轴受压应力-应变全曲线统一模型，理论模型所得结果与试验结果吻合较好。本模型适用于橡胶等体积替代砂率为0%~20%、端钩型SF体积分数为0vol%~1.5vol%且基准混凝土强度在50~70 MPa之间的SF-橡胶/混凝土，具体使用时应根据实际试验结果进行调整。

图 1 单轴受压应力-应变全曲线试验加载装置

Figure 1. Test setup of uniaxial compressive stress-strain curves

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图 2 钢纤维(SF)-橡胶/混凝土试件受压破坏过程示意图

Figure 2. Schematic diagrams of compressive process of steel fiber (SF)-rubber/concrete specimens

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图 3 SF-橡胶/混凝土试件的受压破坏形态

Figure 3. Compressive failure modes of SF-rubber/concrete specimens

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图 4 SF-橡胶/混凝土试件单轴受压应力-应变全曲线

Figure 4. Uniaxial compressive stress-strain curves of SF-rubber/concrete specimens

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图 5 PC、橡胶/混凝土、SF/混凝土试件单轴受压应力-应变曲线理论模型与试验曲线比较

Figure 5. Comparison between theoretical and experimental curves of PC, rubber/concrete, SF/concrete specimens

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图 6 SF-橡胶/混凝土形状参数 ${\alpha _{\rm{c}}}$ 拟合效果对比

Figure 6. Comparison of shape parameters ${\alpha _{\rm{c}}}$ between experimental and predicted results of SF-rubber/concrete

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图 7 SF-橡胶/混凝土单轴受压应力-应变曲线理论模型与试验曲线对比

Figure 7. Comparison between theoretical and experimental uniaxial compressive stress-strain curves of SF-rubber/concrete

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表 1 试验混凝土配比

Table 1 Mixture proportions of test concretes

Type	Specimen denotation	Water-binder mass ratio	Volume fraction of steel fiber/vol%	Volume substitution ratio of rubber particles/%	Water/ kg	Cement/ kg	Fine aggregate/ kg	Coarse aggregate/ kg	Mass fraction of super plasticizer/ wt%
PC	R-0-F-0.0	0.34	0	0	160	470	820	960	1
Rubber/ concrete	R-10-F-0.0	0.34	0	10	160	470	738	960	1
Rubber/ concrete	R-20-F-0.0	0.34	0	20	160	470	656	960	1
SF/ concrete	R-0-F-0.5	0.34	0.5	0	160	470	820	960	1
	R-0-F-1.0	0.34	1.0	0	160	470	820	960	1
	R-0-F-1.5	0.34	1.5	0	160	470	820	960	1
SF-rubber/ concrete	R-10-F-0.5	0.34	0.5	10	160	470	738	960	1
	R-10-F-1.0	0.34	1.0	10	160	470	738	960	1
	R-10-F-1.5	0.34	1.5	10	160	470	738	960	1
	R-20-F-1.0	0.34	1.0	20	160	470	656	960	1
Notes: PC—Plain concrete; SF—Steel fiber; R—Rubber particles; R-0, R-10, R-20—Rubber volume substitution ratios of 0%, 10% and 20%, respectively; F—Steel fiber; F-0.0, F-0.5, F-1.0, F-1.5—Steel fiber volume fractions of 0vol%, 0.5vol%, 1.0vol% and 1.5vol%, respectively.

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表 2 SF-橡胶/混凝土试件单轴受压试验及计算结果

Table 2 Uniaxial compressive tests and calculation results of SF-rubber/concrete specimens

Specimen type	Specimen denotation	${f_{{\rm{cu}}}}$ /MPa	${f_{{\rm{c,t}}}}$ /MPa	${f_{{\rm{c,c}}}}$ /MPa	$\dfrac{{{f_{{\rm{c,t}}}}}}{{{f_{{\rm{c,c}}}}}}$	${\varepsilon _{{\rm{c,t}}}}$ /10⁻³	${\varepsilon _{{\rm{c,c}}}}$ /10⁻³	$\dfrac{{{\varepsilon _{{\rm{c,t}}}}}}{{{\varepsilon _{{\rm{c,c}}}}}}$	${E_{{\rm{c,t}}}}$ /10⁴	${E_{{\rm{c,c}}}}$ /10⁴	$\dfrac{{{E_{{\rm{c,t}}}}}}{{{E_{{\rm{c,c}}}}}}$
PC	R-0-F-0.0	68.7	48.9	48.9	1.00	1.95	1.90	1.02	3.81	3.70	1.03
Rubber/concrete	R-10-F-0.0	58.5	41.3	40.4	1.02	2.11	2.11	1.00	3.36	3.39	0.99
Rubber/concrete	R-20-F-0.0	46.5	32.0	32.0	1.00	2.40	2.40	1.00	3.09	3.03	1.02
SF/concrete	R-0-F-0.5	72.1	51.1	51.0	1.00	2.06	2.07	1.00	3.99	3.98	1.00
	R-0-F-1.0	74.7	53.1	53.1	1.00	2.25	2.23	1.00	4.25	4.26	1.00
	R-0-F-1.5	78.9	56.4	55.1	1.02	2.43	2.42	1.00	4.53	4.55	1.00
SF-rubber/ concrete	R-10-F-0.5	60.2	42.7	42.5	1.00	2.31	2.26	1.02	3.55	3.65	0.97
	R-10-F-1.0	61.4	42.2	44.6	0.95	2.52	2.39	1.06	3.82	3.91	0.98
	R-10-F-1.5	65.7	46.1	46.7	0.99	2.60	2.59	1.00	4.17	4.21	0.99
	R-20-F-1.0	48.9	34.1	36.1	0.94	2.73	2.70	1.01	3.70	3.53	1.05
Notes: ${f_{{\rm{cu}}}}$ —Cube compressive strength; ${f_{{\rm{c,t}}}}$ —Experimental axial compressive strength; ${f_{{\rm{c,c}}}}$ —Calculated axial compressive strength; ${\varepsilon _{{\rm{c,t}}}}$ —Experimental strain at peak stress point; ${\varepsilon _{{\rm{c,c}}}}$ —Calculated strain at peak stress point; ${E_{{\rm{c,t}}}}$ —Experimental elastic modulus; ${E_{{\rm{c,c}}}}$ —Calculated elastic modulus.

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表 3 国内外常用普通混凝土(PC)、橡胶/混凝土和SF/混凝土受压应力-应变曲线模型

Table 3 Theoretical stress-strain models of plain concrete (PC), rubber/concrete and SF/concrete under compression in literatures

	References	${f_{\rm{c}}}$ /MPa	Admixture	Constitutive models and parameter
PC	Carreia-Chu et al^[8]	—	—	$\sigma = \dfrac{{{f_{\rm{c}}}\beta (\varepsilon/{\varepsilon _{\rm{c}}})}}{{\beta - 1 + {{(\varepsilon/{\varepsilon _{\rm{c}}})}^\beta }}}$ ; $\beta = {\left( {\dfrac{{{f_{\rm{c}}}}}{{32.4}}} \right)^3} + 1.55$ ; ${\varepsilon _{\rm{c}}} = 700{({f_{\rm{c}}})^{0.25}} \times {10^{ - 6}}$
	Guo^[9]	—	—	$x = \dfrac{\varepsilon }{{{\varepsilon _{\rm{c}}}}}$ ; $y = \dfrac{\sigma }{{{f_{\rm{c}}}}}$ ; $y = \left\{ \begin{array}{l} ax + (3 - 2a){x^2} + (a - 2){x^3}\mathop {}\limits_{} (0 < x \leqslant 1) \\ \dfrac{x}{{b{{(x - 1)}^2} + x}}\mathop {}\limits_{} (x > 1) \\\end{array} \right.$ $a = 2.4 - 0.0125{f_{\rm{c}}};\;b = 0.157{f_{\rm{c}}}^{0.795} - 0.905$
	GB 50010—2010^[10]	—	—	$\sigma = (1 - {d_{\rm{c}}}){E_{\rm{c}}}\varepsilon$ ; ${d_{\rm{c}}} = \left\{ \begin{array}{l} 1 - \dfrac{{{\rho _{\rm{c}}}n}}{{n - 1 + {x^n}}}\mathop {}\nolimits_{} (\varepsilon \leqslant {\varepsilon _{\rm{c}}}) \\ 1 - \dfrac{{{\rho _{\rm{c}}}n}}{{{\alpha _{\rm{c}}}{{(x - 1)}^2} + x}}\mathop {}\nolimits_{} (\varepsilon > {\varepsilon _{\rm{c}}}) \\\end{array} \right.$ ; ${\rho _{\rm{c}}} = \dfrac{{{f_{\rm{c}}}}}{{{E_{\rm{c}}}{\varepsilon _{\rm{c}}}}}$ ; $n = \dfrac{{{E_{\rm{c}}}{\varepsilon _{\rm{c}}}}}{{{E_{\rm{c}}}{\varepsilon _{\rm{c}}} - {f_{\rm{c}}}}}$ ; $x = \dfrac{\varepsilon }{{{\varepsilon _{\rm{c}}}}}$ ; ${\alpha _{\rm{c}}} = 0.157f_{\rm{c}}^{0.785} - 0.905$ ${\varepsilon _{\rm{c}}} = 700 + 172\sqrt {{f_{\rm{c}}}} \times {10^{ - 6}}$
Rubber/ concrete	Feng et al^[16]	50–80	Amount: 0–37.8 kg∙m⁻³ Size: 0.198–8 mm	${a_1} = 2.4 - 0.01{f_{{\rm{cu}}}}$ ; $a = {a_1}(1 - 0.0529{\rho _{\rm{r}}}d_{\rm{r}}^{ - 0.0347})$ ${a_2} = 0.132f_{{\rm{cu}}}^{0.785} - 0.905$ ; $b = {a_2}(1 + 0.046{\rho _{\rm{r}}}d_{\rm{r}}^{ - 0.135})$ ${f_{{\rm{c}},{\rm{r}}}} = {f_{\rm{c}}} \times {{\rm{e}}^{\left( {\frac{{ - 0.0251{\rho _{\rm{r}}}{d_{\rm{r}}}}}{{ - 0.1058 + {d_{\rm{r}}}}}} \right)}}$ ; ${\varepsilon _{{\rm{c}},{\rm{r}}}} = (3\;666.7 - 105.8\sqrt {{f_{{\rm{c}},{\rm{r}}}}} ) \times {10^6}$
	Li et al^[17]	30–50	Amount: 0–50.92 kg∙m⁻³ Size: 0.173–4 mm	$a = (2.4 - 0.0125{f_{\rm{c}}}) \times \exp \left(0.107{\rm{ln}}{d_{\rm{r}}} + \dfrac{{0.006\rho _{\rm{r}}^{1.0169}{d_{\rm{r}}}}}{{{d_{\rm{r}}} - 0.1287}}\right)$ ; $b = (0.157{f_{\rm{c}}}^{0.785} - 0.905) \times \exp \left(0.0617{\rm{ln}}{d_{\rm{r}}} - \dfrac{{0.283\rho _{\rm{r}}^{0.3322}{d_{\rm{r}}}}}{{{d_{\rm{r}}} + 0.0018}}\right)$ ; ${f_{{\rm{c}},{\rm{r}}}} = {f_{\rm{c}}} \times \exp \left( {\dfrac{{ - 0.0734{\rho _{\rm{r}}}^{0.4947}{k^{ - 3.2634}}{d_{\rm{r}}}}}{{{d_{\rm{r}}} - 0.0737}}} \right)$ ; ${\varepsilon _{{\rm{c}},{\rm{r}}}} = (938.0584 + 158.1626\sqrt {{f_{{\rm{c}},{\rm{r}}}}} ) \times {10^6}$
	Li et al^[18]	35–50	Amount: 0–40.5 kg∙m⁻³ Size: 1.18 mm, 2.36 mm	$\beta = \left\{ \begin{array}{l} {\left[ {1.02 - 1.17/({E_{\rm{p}}}/{E_{{\rm{c}},{\rm{r}}}})} \right]^{ - 0.74}}\mathop {}\nolimits_{} (\varepsilon \leqslant {\varepsilon _{{\rm{c}},{\rm{r}}}}) \\ {\left[ {1.02 - 1.17/({E_{\rm{p}}}/{E_{{\rm{c}},{\rm{r}}}})} \right]^{ - 0.74}} + (\gamma + \mu )\mathop {}\nolimits_{} (\varepsilon > {\varepsilon _{{\rm{c}},{\rm{r}}}}) \\ \end{array} \right.$ $\gamma = {(135.16 - 0.1744{f_{{\rm{c}},{\rm{r}}}})^{ - 0.46}}$ ; $\mu = 0.35\exp ( - 9.11/{f_{{\rm{c}},{\rm{r}}}})$ ${E_{\rm{p}}} = {f_{{\rm{c}},{\rm{r}}}}/{\varepsilon _{{\rm{c}},{\rm{r}}}}$ ; ${\varepsilon _{{\rm{c}},{\rm{r}}}} = ({f_{{\rm{c}},{\rm{r}}}}/{E_{{\rm{c}},{\rm{r}}}})\left[ {\upsilon/(\upsilon - 1)} \right]$ ; $\upsilon = {f_{{\rm{c}},{\rm{r}}}}/17 + 0.8$ ;
SF/concrete	Nataraja^[19]	30–50	Type: Corrugated ${l_{\rm{f}}}/{d_{\rm{f}}}$ : 55, 82; ${V_{\rm{f}}}$ : 0vol%, 0.5vol%, 0.75vol%, 1.0vol%	$\beta = 0.5811 + 1.93\lambda _{\rm{f}}^{ - 0.7406}$ ${f_{{\rm{c}},{\rm{f}}}} = {f_{\rm{c}}} + 2.1604{\lambda _{\rm{f}}}$ ; ${\varepsilon _{{\rm{c}},{\rm{f}}}} = {\varepsilon _{\rm{c}}} + 0.0006{\lambda _{\rm{f}}}$
	Gao^[23]	20–30	Type: Shear-wave ${l_{\rm{f}}}/{d_{\rm{f}}}$ : 46; ${V_{\rm{f}}}$ : 0vol%, 0.5vol%, 1.5vol%, 2.0vol%	$a = {E_{{\rm{c}},{\rm{f}}}}(1.3 + 0.014{f_{{\rm{c}},{\rm{f}}}} + 0.96{\lambda _{\rm{f}}})/{f_{{\rm{c}},{\rm{f}}}} \times {10^3}$ $b = (1.4 + 0.012{f_{{\rm{c}},{\rm{f}}}}^{1.45})(1 - 0.8{\lambda _{\rm{f}}}^{0.295})$ , $1.5 \leqslant a < 3.0$
	Zhang^[24]	40–50
	Lv et al^[25]	50–90	Type: Hooked-end ${l_{\rm{f}}}/{d_{\rm{f}}}$ : 62.5; ${V_{\rm{f}}}$ : 0vol%, 1.0vol%, 1.5vol%, 2.0vol%	${\alpha _{{\rm{c}},{\rm{f}}}} = (0.157f_{\rm{c}}^{0.785} - 0.905)\left[ {1 - 0.0192({l_{\rm{f}}}/{d_{\rm{f}}}){V_{\rm{f}}}^{0.08}} \right]$ ${\varepsilon _{{\rm{c}},{\rm{f}}}} = (700 + 172\sqrt {{f_{\rm{c}}}} )(1.0 + 0.189{\lambda _{\rm{f}}}) \times {10^{ - 6}}$ ${E_{ {\rm{c} },{\rm{f} } } } = \dfrac{ { { {10}^5} } }{ {2.2 + \left({ {34.7} }/{ { {f_{ {\rm{cu} },{\rm{k} } } } } }\right)} }(1 - 0.0006{\lambda _{\rm{f} } })$
Notes: ${f_{\rm{c}}}$ —Axial compressive strength of PC; ${\varepsilon _{\rm{c}}}$ —strain at peak stress point of PC; ${\varepsilon _{\rm{u}}}$ —Ultimate strain of PC; ${d_{\rm{c}}}$ —Damage evolution parameters of PC; ${f_{{\rm{c}},{\rm{r}}}}$ —Peak stress of Rubber/Concrete; ${\varepsilon _{{\rm{c}},{\rm{r}}}}$ —Strain at peak stress point of Rubber/Concrete; $E{}_{{\rm{c}},{\rm{r}}}$ —Elastic modulus of Rubber/Concrete; ${f_{{\rm{c}},{\rm{f}}}}$ —Peak stress of SF/Concrete; ${\varepsilon _{{\rm{c}},{\rm{f}}}}$ —Strain at peak stress point of SF/Concrete; $E{}_{{\rm{c}},{\rm{f}}}$ —Elastic modulus of SF/Concrete; V_f—Volume fraction of steel fiber; l_f/d_f—Length to diameter ratio of SF.

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